《正弦定理》教学设计

【教材】人教版数学必修五正弦定理

【教学对象】高二学生

【教材分析】正弦定理是高中《数学》必修五的第一章第一节，是高中生学习解三角形的第一个重要工具。同时为学习余弦定理做准备，起到十分重要的作用。

【学情分析】本课的教学对象设定为中等水平的高二学生。学习本课前，学生需要掌握前面已学过的三角函数知识。

【教学目标】

知识与技能：（1）理解正弦定理概念和公式的本质；（2）会正弦定理解决两个基本的解三角形问题。

过程与方法：（1）通过提出对以前知识的疑问，培养学生严谨的逻辑思维能力；（2）通过猜想――探究――证明的过程学习正弦定理，提高学生的探究意识。

情感态度价值观：（1）体会到数学的普适性的美；（2）体会数学公式的结构不变性与字母可变性。

【教学重点】证明正弦定理的过程以及如何应用正弦定理解三角形。

【教学难点、关键】正弦定理的本质。

【教学方法】引导探究、实例运用。

【教学过程设计】

一、回顾旧知

1、三角形中“大边对大角”的描述是真的吗？

提问让学生思考，产生认知疑惑。教师引导学生回答问题，发现根据现已掌握的知识似乎只有在直角三角形中，才可以通过理论证明“大边对大角”。

2、老师继续引导学生严谨证明在直角三角形中大边对大角

老师引导学生，证明不能似乎好像，必须有严谨的证明才可以，并板书证明过程：

斜边>任一直角边（由勾股定理可得）设直角边分别为a，b，且分别对应角A，B，斜边为c，那么a=c*sinA，b=c*sinB，又A，B是锐角，所以角越大时边越大，边越大时角越大，故“大边对大角”。

设计意图：先造成学生认知上的疑惑，通过老师不断地引导培养学生严谨的数学思维能力。

二、在一般三角形中猜想并证明正弦定理

利用已知在直角三角形中的证明可以得到：a/sinA=c=b/sinB，其中c可以写作c/sinC猜测在一般三角形中也有这样的等式成立

先让学生自己任意画一个三角形，任意标出三角形的三个顶点A，B，C，其中角A，B，C，分别对应边a，b，c，再根据教师的引导共同证明猜想。黑板上演示证明的全过程，让学生清楚地看到正弦定理对任意三角形都成立的全过程。

板书演示：（略）

老师让同学之间相互交流看看对方画的三角形是否一样，可以发现这样的猜想对任意的三角形都是成立的，老师继续提示在证明过程中也没有任何限制三角形形状的地方，所这样的猜想对三角形有普适性。老师揭示刚刚所证明的猜想就是今天要学习的正弦定理。

设计意图：通过证明向学生们揭示正弦定理的普适性，让学生们感受到数学定理的伟大。

三、正弦定理的本质

例题：已知三角形三边为分别为m，n，l其对应角分别是O，P，Q，请写出该三角形的正弦定理表达式。

由刚刚学习的正弦定理可知m/sinO=n/sinP=l/sinQ。老师让同学间相互出题，随意变换三角形的三边字母及其对应角的字母解决问题。在解决这些问题时学生对正弦定理的认识有进一步了解。可以发现运用正弦定理公式时不是简单的套用字母的运算，而要分析公式的真正含义再结合题意进行运用。学生总结或通过老师揭示正弦定理的实质。

设计意图：通过简单例题引发同学们的思考，使同学掌握正弦定理的本质，体会公式的字母可变性与结构不变性，并感受到数学以不变应万变的魅力。

四、正弦定理的应用

老师引导学生利用正弦定理证明“大边对大角”：直角三角形的情况在课堂一开始就已经证明过；在锐角三角形中，所有的角均为锐角，故角度越大其正弦值越大，那么由正弦定理的实质（任意三角形中每一边与其对应角的正弦值之比为定值）可以得到其对应边的值也越大，反之亦然，故而锐角三角形中有“大边对大角”；类似地，在钝角三角形中的两个锐角及其对应边，自然是有“大边对大角”的，那么钝角的正弦值是不是大于其中任一锐角的正弦值呢？给学生一定的思考空间后，老师提示三角形的内角和为180o，所以钝角的正弦值等于其余两个锐角和的正弦值，那么钝角的正弦值肯定大于其中任一锐角的正弦值，同理“大边对大角”在钝角三角中也成立。

正弦定理除了可以证明“大边对大角”，还有什么应用呢？

例题：已知ABC的三角形∠A=60°，∠B=45°，AB=3，求ABC的周长L

先让学生们独立做题，最后由老师板书提示：

周长L=AC+BC+AB

=sinA（AB/sinC）+sinB*（AB/sinC）+AB

=（sinA+sinB+sinC）AB/sinC.

总结，任意三角形只要是任意给出两角和一边都可以计算出其余的值。

例题：1.已知ABC的三角形∠A=60°，CB=5，AB=3，求ABC的周长L

例题：2.已知ABC的三角形∠A=60°，AC=4，AB=3，求ABC的周长L

学生自行做题，发现例2无法解出。总结，任意三角形中任给两边和其中一边的对应角才可以利用正弦定理计算出其余的量。

设计意图：1.让学生经历运用正弦定理解决数学问题的过程；2.利用正弦定理解决一定条件下解三角形，培养学生做题认真看清条件限制的良好习惯。（下转第66页）