基于灰色马尔柯夫链在商品房价格中的预测

摘要：本文将马尔柯夫理论与灰色理论相结合，建立了GM（（1，1）模型，并将其应用于实际。本文针对重庆市商品房价格进行了建模分析，并预测了未来价格的发展的趋势，相对于单用马尔柯夫理论建模提高了精度。

关键词：灰色系统 马尔柯夫 商品房价格 预测

一、引言

灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的“以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信息”不确定性系统为研究对象的一门系统科学新学科。其基本思想是通过灰色系统建模，把时间序列转化为微分方程，为农业、气象、经济等复杂系统提出一种新颖的预测预报工具。其理论核心主要适用于时间短，数据资料少随机波动不大的系统现象。

马尔柯夫理论是一种具有“马尔柯夫性”的随机过程。马尔柯夫预测描述的是一个随机序列的动态变化过程。它根据状态转移概率来推断系统的未来发展变化，转移概率反映了各种随机因素的影响程度，因而马尔柯夫链适合于随机波动性较大的预测问题。

灰色预测与马尔柯夫预测可以互补，这既考虑了灰色系统中对随机性波动较大预测的拟合较差问题，也考虑了马尔柯夫中需要大量历史数据的问题，将两者结合，能更精确地对实际问题进行预测，从而得到更好的预测效果。

从指标的选择上看，商品房价格是由很多因素影响的，如供求关系、国家对房产的调控、国家调控下的政治和经济、房地产原料、房地产用地等。这些因素共同影响了其价格。我们可以将商品房价认为是一个部分信息已知，部分信息未知的灰色系统来处理。从另外个方面来看，它也是一个非平稳的随机时间序列，因此其适合用灰色马尔柯夫链来进行预测。

二、灰色GM（（1，1）模型

①首先，设原始时间序列数据为：

X（0）=x（0）（1），x（0）（2），...x（0）（n-1），x（0）（n） （1）

②X（0）进行一次累加生成新序列：

X（1）=x（1）（1），x（1）（2），...x（1）（n-1），x（1）（n） （2）

x（1）（n）=■x（0）（i），i=1，2，...，n

③构成累加矩阵B与常数项向量Q

B=-■（x（1）（1）+x（1）（2）） 1-■（x（1）（2）+x（1）（3）） 1 ┆ ┆-■（x（1）（n-1）+x（1）（n））1 Q=x（0）（2）x（0）（3） ┆x（0）（n）

根据灰色理论，对生成的序列X（1）建立时间趋势项的灰色微分方程预测模型为：

■+aX（1）=b （3）

其中，a，b为待估参数，称a为发展系数，其大小反应了数据序列X（0）的增长速度，b为灰色作用量。

④计算参数（最小二乘法）：

设？觠为待估计参数量：

？觠=（a，b）T ？觠=（BTB）-1BTQ （4）

⑤估计出参数a，b后，则方程（3）的解（即响应函数）为：

x（1）（k+1）=（x（0）（1）-■）e-ak+■，k=0，1，2...n （5）

⑥令Y（k）=X（0）（k+1），则X（0）（k+1）=X（1）（k+1）-X（1）（k）=Y（k），Y（k）为预测值。

⑦确定状态转移矩阵

X（n）设是具有马氏性，状态空间和时间参数都是离散的随机过程即马氏链。数据序列由状态Ei经过k步转移到状态Ej的概率称为k步状态转移概率，记作：pij（k）=■，

其中m？觨（k）为状态Ei经过k步转移到状态Ei的原始数据样本数，mi为状态Ei的原始数据样本数。则k状态转移概率矩阵为：

p（k）=P■■P■■ … P■■P■■P■■ … P■■… … … …P■■P■■ … P■■

实际中，只需要考虑一步状态转移矩阵P，设预测状态处于Ei状态，考虑P中第i行，若max（Pij）=Pij，则认为下一时刻最有可能从i状态转向k状态。根据已确定的系统未来时刻状态，预测结果最可能为：Y'（k）=Y（k）+（Ai上+Ai下）/2。

三、在房地产价格预测中的应用

（一）数据的选择

选取重庆市2011年6月至2013年3月月销售均价为样本数据，见下表：

重庆房价统计数据表

■

数据来源：重庆统计年鉴，重庆统计局

（二）GM（（1，1）模型的建立

通过原始数据构造累加生成序列，确定数据矩阵：

■■

计算参数：？觠=（-0.005852266，4472.6569）T

确定GM（1，1）模型：x（1）（k+1）=（x（0）（1）-■）e-ak+■

=（x（0）（1）+724260.6983）e-0.05852266k-764260.6983=768597.425e-0.05852266k-764260.6983

将x（1）序列进行累减还原，得到x（0）序列的GM（1，1）灰色预测结果

Y（k）=X（1）（k+1）-X（1）（k）

（三）状态划分并确定状态转移概率矩阵

以预测值Y（k）为基准，在其上下两侧作4条与之平行的曲线Yi（k）=Y（k）+ai（ai为常数），每相邻两条曲线之间的区域为一个状态，将符合马氏链的非平稳随机序列X（0）（k+1）划分为4个状态。

5条曲线分别为：

Yi（k）=Y（k）+1000

Yi（k）=Y（k）+500

Yi（k）=Y（k）-400

Yi（k）=Y（k）-700

各年所处状态划分：

■

计算状态转移概率矩阵为

■

因为2013年3月价格为E3，故预测2013年4月将处于状态E2，2013年5月将处于状态E2。预测结果最可能Y'（k）=Y（k）+（Ai上+Ai下）/2=4472.727+■（500+400）=4922.727，整体走势为764124.698e-0.005852266k类型的上涨趋势，同时预测2013年5月平均价格为4922.727元/平方米。

四、结语

虽然通过灰色马尔科夫方法预测得到房价整体长期走势y（k）764124.698e-0.005852266k类型为上涨趋势，但是由于各种因素影响造成价格波动幅度较大。其中政策性因素以及土地供给因素对房产价格波动影响巨大。当出现政策变动与土地供给变动时价格出现大幅度下降或上涨的变动。通过文中的预测与分析重庆市房地产仍然有较大的发展空间（这个发展空间指的并不是房价走势）和需求量，未来市场前景可观，同时重庆市房地产价格的增长趋势必然趋缓。

参考文献：

[1]肖新平，宋中民等.灰技术基础及其应用[M].北京：科学出版社，2005.

[2]童明余，肖志祥等.GM（1，1）在股票价格预测中的运用[J].黄冈师范学院学报，2005.

[3]刘洁，郭海华.基于无偏灰色—马氏链组合模型的股价研究[J].湖北大学学报：自然科学版，2005.

[4]孙荣恒.随机过程及其应用[M].北京：清华大学出版社，2004.

[5]重庆局统计信息网（http：///）.

（责编 高伟）