数字滤波器群时延对颤振控制系统稳定性的影响

摘要： 针对二维翼段颤振抑制系统，研究数字滤波器群时延对系统稳定性的影响。风洞试验表明，当数字滤波器群时延较大时，即使在较低风速下，系统也会不稳定。在稍高于颤振临界速度的风速下抑制颤振时，受控振动会先衰减，然后再产生低频小幅自激振动。通过理论分析和数值仿真，对这一现象做出了解释。数值仿真和风洞试验结果均表明，系统失稳后产生的自激振动与数字滤波器群时延量有关，随着时延量增大，发散速度变快，振动频率和振动幅值也会相应增加。关键词： 颤振主动抑制；群时延； 数字滤波器； 时滞； 稳定性；

中图分类号： V2153；V21147文献标识码： A文章编号： 10044523（2013）02015307

引言

在颤振控制系统中，测控信息的传输和处理不可避免地存在时滞。例如，A/D转换、信号保持、数字滤波、D/A转换等环节均需一定的时间，累积后导致控制回路产生时滞。过去，人们在设计颤振控制系统时均忽略上述时滞因素，从而导致控制系统性能降低甚至失稳。近期研究表明，对于某些动力学系统，即使时滞仅占系统第一阶固有振动周期的万分之一，也会导致复杂的动力学行为，甚至使得动力学分析和设计结果面目全非[1，2]。因此，颤振控制系统中的时滞问题已引起学者们的高度重视[3～7]。

数字滤波器的群时延是一种比较特殊的时滞因素，它通常比其他时滞因素长得多。例如，信号采集和控制器运算产生的时滞，甚至一些作动器的时滞，都短于群时延。此外，作为数字滤波器的一种固有特性，其群时延与数字滤波器的计算速度无关。鉴于数字滤波器广泛应用于机械系统动力学控制，研究其群时延对系统控制效果、系统稳定性的影响具有普遍意义，但相关研究报道尚不多见[8，9]。

作者在基于H∞控制器、超声电机驱动控制面对二维翼段进行颤振控制的风洞试验中，为消除低频漂移信号和高频杂波噪声信号，采用带通数字滤波对控制器输入信号进行滤波。在数字滤波器的阶数较高时，虽然可以得到比较光滑的动态信号，但同时引入了较大的群时延，导致控制系统出现不稳定现象。作者在试验过程中发现，在稍高于颤振临界速度的风速下抑制颤振时，会出现受控振动先衰减，然后再产生一个低频小幅自激振动的现象。本文将针对上述风洞试验结果，采用理论分析与数值仿真的方法展开研究，对这一现象做出解释。

1颤振控制系统描述

图1为颤振控制系统的力学模型，其翼型为NACA0012，展长为L，超声电机安装在控制面转轴上。图1中，U为风速，b为翼段半弦长，ab为系统弹性轴与弦中点的距离，cb为控制面转轴与弦中点的距离，xα为翼段质心到弹性轴的距离，xβ为控制面质心到控制面转轴中心的距离。该模型有3个自由度，其中沉浮位移h向下为正，俯仰角α顺时针方向为正；控制面俯仰转角β受超声电机控制，顺时针方向为正。kh，kα分别为沉浮刚度和俯仰刚度。翼段模型参数列于表1。

为了限制翼段发生颤振时出现过大的俯仰角，在该系统俯仰方向安装了限位弹簧，当俯仰角超过设定的门槛值时起限制俯仰角的作用，以防止模型破坏。因此，该模型具有分段线性刚度，在平衡态附近的微振动是线性振动，颤振时的大幅度振动是非线性碰撞振动。

鉴于H∞控制理论已有众多文献介绍，此处将不再赘述。第1节所述试验系统模型对系统动力学行为影响最显著的不确定性主要来源于两个方面，一是由于沉浮方向的导轨存在干摩擦而引起的沉浮方向阻尼的不确定，二是由于对超声电机建模的误差[10]。

利用Matlab的鲁棒工具箱可以非常方便地计算H∞控制器。在每一给定风速下，对图2所示系统可设计一个控制器，其系统方程如下con=Aconxcon+Bconyw，

βc=Econxcon+Dconyw（8） 式中yw为测量信号。

H∞控制器阶数一般较高，通过计算控制器的Hankel奇异值，可发现控制器能量主要集中在前几阶。对于本文所研究的系统，5阶以上的近似Bode图变化已非常微小。因此，在研究中取9阶近似，精度已足够[10]。

3风洞试验中的颤振控制失稳现象〖2〗31数字滤波器的群时延对于线性系统，设φ（f）为系统的相位响应，则系统的群时延（记为D（f））定义为D（f）-12πdφ（f）df （9）即群时延正比于相位响应的负梯度。对于线性相位滤波器，群时延为常值，即D（f）=τ；但对于非线性相位滤波器，群时延不是常值。此时，群时延D（f）的涵义是：对于频率为f的频谱成分，滤波器引起的时滞量[12]。本试验中采用的数字滤波器为Butterworth带通滤波器，其群时延是随频率变化的，如图3所示。为表述简洁，文中记数字滤波器对应于系统颤振频率的群时延为τ。

32数字滤波器群时延引起的失稳现象

第1节所述二维翼段系统的颤振临界速度为2244 m/s，具体试验装置见文[13]。在略高于颤振临界速度的风速条件（U=226 m/s）下设计H∞控制器，当群时延τ分别为25和13 ms时，图4和5分别为群时延导致的闭环系统失稳现象和失稳后运动的频谱。由图4可见，施加控制后，颤振会先衰减，然后在俯仰方向和控制面转角方向出现失稳；群时延越小，上述衰减的速度越快，而失稳速度越慢，且失稳后形成的自激振动振幅越小。当τ=25 ms时，衰减时间为13 s；而当τ=13 ms时，衰减时间约为11 s。当τ=25 ms时，失稳后形成稳定自激振动所用的时间为2 s；而当τ=13 ms时，所用的时间约为5 s。当τ=25 ms时，失稳后形成的稳定自激振动振幅为92°；而τ=13 ms时该振幅为86°。

由图5可见，失稳运动的基频和其2，3，4倍频处都有明显的峰值。τ越大，频谱中各峰值振幅越大，频率越高；而τ越小，则振幅越小，频率越低。当τ=25 ms时，基频振幅为38°，基频为256 Hz；而当τ=13 ms时，基频振幅为25°，基频为219 Hz。图4和图5表明，反馈回路中的群时延对闭环系统稳定性有很大影响，而对失稳后运动的影响更为显著。

图4群时延导致的闭环系统失稳现象

Fig.4Group delay induced instability of controlled system图5失稳后运动的频谱

Fig.5The frequency spectrum of unstable motion

4含群时延的颤振控制系统稳定性分析因风洞试验中的控制器为离散的，故对数值仿真采用离散格式。

DfdCwd0Afd根据线性时不变离散系统的稳定性判据，以上系统渐近稳定的条件是Atall的所有特征值λi（Atall）（i=1，…，n）的幅值均小于1。记Γmax（λi（Atall））-1 （14）在颤振临界速度的邻域内求不同风速下Atall的特征值的最大幅值，绘制U～Γ曲线，该曲线穿越U坐标轴时所对应的风速就是由群时延τ导致受控系统不稳定的临界风速。

设式（13）所对应的连续系统的系统矩阵为Atallcon，则有Atall=eAtallconT （15）式中T为离散系统的采样周期。

eλcnT （17）即eλciT（i=1，…，n）为Atall的特征值。所以 λciT=lnλi，即λci=lnλiT （18）故系统失稳后的频率为fustable=ImlnλiT （19）采用图2所设计的H∞控制器（设计控制器时给定的风速为226 m/s），系统（13）的U～Γ曲线如图6所示。由该图可见：群时延τ分别为25和13 ms时，Γ穿越零点时的风速分别为180和2226 m/s，均小于给定的风速226 m/s，因此，闭环系统产生失稳运动。

若采用一阶带通滤波器，则滤波器的群时延可减小到10 ms以内，从而可增大闭环系统的稳定区域。图7为风速226 m/s时，采用H∞控制器和一阶Butterworth带通滤波器数字滤波以及无数字滤波器时的U～Γ曲线。由图7可见，采用一阶滤波器（τ=9 ms）时，颤振临界风速可提高到275 m/s。而无数字滤波器时，测控环节中没有时滞，颤振临界风速为259 m/s。这说明，反馈回路中的短时滞会扩大闭环系统的稳定域，这与有关文献的结果是一致的。

8（a）、图8（b）的群时延τ分别为25和13 ms。与图4的风洞试验结果相比，二者的运动趋势基本吻合。不同之处如下：一是在风洞试验中，当沉浮方向施加控制后，没有先衰减再发散、产生低频小幅振动，而是直接衰减至平衡点；二是失稳后形成的稳定自激振动振幅小于风洞试验值，τ=25 ms时振幅为65°，而τ=13 ms时振幅为58°；三是俯仰方向和控制面转角先衰图8群时延导致的闭环系统失稳现象（仿真结果）

system （simulation）减、后发散，形成稳定小幅低频振动所需的时间不同。在风洞试验中，振动衰减后很快就形成了平稳的小幅低频振动，而数值仿真中达到平稳状态的时间较长，这种差别在群时延τ较小时更为明显。比如，在风洞试验中，当τ为13 ms时，形成稳态自激振动耗时为5 s；而在数值仿真中，振动衰减13 s之后还没有达到平稳状态。

图9是数值仿真结果失稳后俯仰方向运动的频谱。与图5的试验结果相比，二者随群时延变化的趋势基本吻合。主要区别有以下两点：一是图9中只在基频和3，5，7等奇数倍频处有峰值，没有出现偶数倍频峰值；二是τ越小，各倍频处峰值衰减越快，因而基频处峰值随τ增大而逐渐降低。当τ为25 ms时，频谱中有4个明显峰值，基频为269 Hz，峰值为358°；τ为13 ms时，只有基频峰值较高，基频为208 Hz，峰值为397°。

以上分析比较表明，试验结果和仿真结果基本吻合，同时也存在一些差异，造成这些差异的原因主要有以下三方面：

其一，试验装置的沉浮方向导轨存在干摩擦，使沉浮方向的等效线性阻尼与振幅相关；振幅越小，等效线性阻尼越大。施加控制后，振动首先衰减下来，这时系统等效线性阻尼很大，以至于此后系统不产生沉浮方向的振动，只在俯仰方向和控制面转角方向形成低频小幅的自激振动。而在数值仿真中，未考虑沉浮方向的阻尼非线性，采用线性粘性阻尼，并且取为定值。

其二，数值仿真中采用的是系统的标称模型，标称系统与实际系统存在一定的差异。对于这种差异，只能定量给出一个估计范围，从而使仿真结果与试验结果必定存在一定差异。

其三，数值仿真是一个理想过程，没有加入干扰因素。比如，没有考虑测量误差，没有噪声信号，也没有考虑风速的波动等因素。而在风洞试验中，这些干扰因素是不可避免的。在风洞试验中，振动衰减后很快形成稳态自激振动，而数值仿真过程中需要较长时间，这是造成差异的重要原因。

5结论

本文研究颤振抑制系统中数字滤波器群时延对系统稳定性的影响。风洞试验表明：当颤振主动抑制系统中的数字滤波器群时延较大时，即使在较低风速下，闭环系统也会失稳。在稍高于颤振临界速度的风速下，若当系统发生颤振并产生稳态振动后再施加控制，受控振动会先衰减、再产生一个低频小幅自激振动。本文通过理论分析和数值仿真，对这一现象做出了解释。数值仿真和风洞试验结果均表明，闭环系统失稳后产生的运动与数字滤波器的群时延量有关。随着群时延量增大，发散速度变快，自激振动频率和振动幅值也会相应增加。因此，在颤振控制系统设计中，应综合考虑滤波效果与滤波器群时延对控制系统稳定性的影响，首选群时延较小的低阶数字滤波器。

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