杜芬振子检测模型非线性研究

摘要： 杜芬振子可被用于微弱信号检测，杜芬振子检测模型决定了杜芬振子的非线性，进而决定了杜芬振子的检测性能，基于非线性系统分析方法对杜芬振子检测模型的结构和特性系统地进行了研究，得出了非线性项的最简形式。

Abstract: Duffing oscillator can be used for weak signal detection. Duffing oscillator detection model determines stability, chaotic characteristic, linear filter characteristic and detection performance. Structure and characteristic of Duffing oscillator detection model are analyzed based on analysis method for nonlinear system, most simple form of nonlinear item are concluded.

关键词： 微弱信号检测；杜芬振子；检测模型；非线性；混沌

Key words: weak signal detection；Duffing oscillator；detection model；nonlinear characteristic；chaos

中图分类号：G31文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）01-0199-02

0引言

信息时代需要获取信息，许多科学研究和工程技术需要用微弱信号检测方法从信噪比（Signal-to-Noise Rate，SNR）很低的条件下获取有用信号的信息[1]。基于混沌理论的微弱信号检测方法是检测微弱信号的一种新手段，它能在SNR

1非线性

某混沌检测模型为[4]

（t）+k（t）-x（t）+x（t）=a coswt（1）

方程（1）的更一般的形式为

（t）+k（t）+N（x）=F（t） （2）

其中，N（x）为非线性项，F（t）为驱动力项。此检测模型的复杂性在于N（x）带来的非线性，下面基于平面哈密顿系统理论推导杜芬振子检测模型中非线性项的最简形式。

方程（2），若k=0且F（t）=0，则成为一个常见的平面哈密顿系统[5]

（t）+N（x）=0（3）

其等价系统为

=y=-N（x）（4）

记

G（x）=N（s）ds（5）

则系统（3）的哈密顿量为

H（x,y）=y+G（x）=h（6）

从物理意义上看，方程（3）用于描述单位质量的质点在外力-N（x）作用下所做的运动，因而哈密顿量中的y2/2表示质点动能，G（x）表示外力对质点所做功的负值，即势能，h表示能量常数。对于给定的能量h，由式（6）得到

y（x,h）=±（7）

因此，相平面中的轨线必满足h≥G(x)。根据这个性质，利用G(x)的图形，就可以作出相平面（x,y）中的轨线。图1给出了一些典型的轨线图形[5]。图1中，（a）表示在G(x)的极小值处，轨线退化成一个中心点，在此中心点周围存在一族闭轨；（b）表示在G(x)的极大值处，轨线退化为鞍点；（c）表示在G(x)的拐点（即满足G’(x)=g(x)=0的点）处，轨线出现退化鞍点；（a）～（c）表示拐点附近轨线的局部性态；（d）～（f）给出了轨线的全局分布；（d）用同宿轨道和异宿圈来分离周期轨道区域和非周轨道区域；（e）用同宿轨道来分离不同的周期轨道区域；（f）用同宿轨道来分离周期轨道区域和非周期轨道区域。在绘制图1时，利用了方程（3）的两条性质：

（1）奇点位于y=0的x轴上；

（2）由式（6）可知，相平面上的轨线关于x轴对称。

选用非线性项N(x)的形式时，应该满足以下三个要求：

（1）系统是稳定的，在任何内部初始扰动和外界输入扰动的影响下，系统的动态过程随时间推移都不发散；

（2）系统能够产生混沌运动，通过调节系统自身的结构参数，能使系统产生混沌运动，系统的状态变量随时间的变化具有混沌性；

（3）求解系统动态过程的计算量小，一般是指求解方程（4）时的计算量要小。

分析图1可以发现：

（1）只有（e）即具有稳定性又具有混沌性，（a）具有稳定性但不具有混沌性，而其它都不具有稳定性；

（2）（a）～（c）是构成（d）～（f）的基本图形。

因此，满足上述三个要求的G(x)的图形应具有以下特点：

（1）为保证稳定性，当x∞时，G(x)应该单调上升；

（2）为保证混沌性，G(x)的中部曲线应该具有凹凸性；

（3）为减少计算量，G(x)的数学表达式及其曲线的形式要简单，即凹凸的次数要少。

据此，G(x)曲线在图1的基础上，有三种构成方式：（1）（a）+（b）+（a）；（2）（c）+（b）+（c）；（3）（c）+（a）+（c），依次对应图2中的（a）、（b）和（c）。

根据图2，下面研究G(x)的数学表达式。以方程（1）为例，N(x)=-x+x3，G(x)=-0.5x2+0.25x4=x2(-0.5+0.25x2)，这对应图1（e）和图2（a）。

因此，可以把N(x)和G(x)简单地看作关于x的多项式。G(x)最简的一般形式为

G（x）=k1xm+k2xn（8）

下面对式（8）中的参数取值进行分类讨论：

（1）若m为偶数，n为奇数，且m

（2）若m为偶数，n为奇数，且m>n，则G(x)=xn（k2+k1xm-n）。这时，若k10，G(x)的典型图形对应图2（c）；

（3）若m和n均为奇数，mn时，得到的结果也是不稳定的；

（4）若m和n均为偶数，幂次高的系数大于零且幂次低的系数小于零时，才满足前述三个要求，并且G(x)的典型图形对应图2（a）；

综上所述，满足前述三个要求的非线性项N(x)的最简形式为

N（x）=k1xm+k2xn（n为奇数，n>m，m∈N，k1≠0，k2>0） （9）

通过仿真实验发现，非线性项的系数k1和k2的绝对值较大时，混沌检测系统对正弦驱动力幅度的灵敏度较高，但抗噪性较差；k1和k2的绝对值较小时，系统的抗噪性较强，但灵敏度较低。非线性项的幂次m和n较大时，系统的灵敏度较高，但幂次太高，检测性能提高不大，反而给系统混沌阈值的推算带来很大障碍。基于上述考虑，混沌检测模型（2）中的N（x）一般取为（-x3+x5）或（-x+x3），这就是非线性项的最简形式。

2结论

通过对杜芬振子检测模型非线性和稳定性的分析，得到非线性项的一般形式为k1xm+k2xn（n为奇数，n>m，m∈N，k1≠0，k2>0）。

参考文献：

[1]高晋占.微弱信号检测[M].北京:清华大学出版社，2004.

[2]Donald L. Birx & Stephen J. Pipenberg. Chaotic oscillators and Complex Mapping Feed Forward Networks(CMFFNS) for signal detection in noisy environments[A]. IEEE International Joint Conference on Neural Networks[C]. USA:IEEE, 1992, Vol.2:881-888.

[3]李月，杨宝俊．混沌振子检测引论[M]．北京：电子工业出版社，2004．

[4]聂春燕.混沌系统与弱信号检测[M].清华大学出版社，2009.

[5]刘曾荣.混沌的微扰判据[M].上海:上海科技教育出版社，1994.