用唯物辩证法阐述中学数学教学内容

[摘要] 通过唯物辩证法的一些基本观点,阐述中学数学教学内容,可以训练学生进行辩证思维,使学生思想清晰、思路开阔,并论证数学与唯物辩证法的联系。

[关键词] 数学物质性 量变到质变 对立统一 否定之否定 数学内在规律

辩证唯物主义是从自然、社会中概括出来的,作为自然科学的一部分――数学,当然同样可以印证唯物辩证法的客观性和真理性;反过来,用辩证唯物论阐述数学教学内容,可以训练学生进行辩证思维,使学生思想清晰、思路开阔,正如恩格斯论述唯物辩证法时所说的:“除了以这种或那种形式从形而上学的思维复归到辩证的思维,在这里没有其他任何出路,没有达到思想清晰的任何可能(《自然辩证法》)。”因而,这就有利于学生学好数学基础知识,有利于培养学生的包括形式逻辑和辩证逻辑在内的思维能力,发展学生的智力,而且有助于学生形成辩证唯物主义世界观。

一、用辩证唯物论的观点阐明数学来源于客观世界,揭示数学的物质性

恩格斯指出:“数和形的概念不是从其他任何地方得来的,而是从现实世界中得来的(《反杜林论》)。”由于数学具有高度的抽象性,因而迷惑了一些人,以为数学不是来源于客观世界,而是由专搞数学的人的头脑里臆想出来的。这种观点是唯心的、错误的。数学虽然具有高度的抽象性,但是却是从客观实际经验中提取出来的,它具有现实的物质性。正如恩格斯所提出的:“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料,这些材料以极度抽象的形式出现,这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实(《反杜林论》)。”对于中学数学中的所有数和形的概念,都可以用辩证唯物论的观点来阐明它的物质性。例如,代数第一册第一章“有理数”中在讲“相反意义的量”而引进正负数时,首先阐明了“整数”、“分数”来源于现实世界的情况和引用恩格斯关于数和形概念的论述,即“数和形的概念不是从其他任何地方得来的,而是从现实世界中得来的。”接着阐述现实世界中存在着一些只具有相反意义的量,需要引进新数来表示它们,这样所引进来的新数就是“正数”“负数”。课本上的这一段教学内容就是这样用辩证唯物论阐述它们的,对形的概念,当然同样可以用唯物论来阐述它们。例如,几何中的点、线、面、角、多边形、圆、二维空间等概念以及长度、面积等几何量的概念,都很明显地是从现实世界中得出来。就连几何图形的性质,它也是客观存在的,不是数学家纯粹的思维臆造出来的。例如,两个三角形的全等,其对应边和角都相等,这两个三角形的全等性质就来源与把它们叠合在一起的操作实际。可以说,所有这些概念和性质,既从它们自身的起源方面,也从实际应用方面同生活和生产密切联系着,它们都有着完全现实的内容。至于数学中的数量关系及其相互推导出来的关系式,也是有着现实的物质基础的,它们是客观现实数量关系的规律性的反映。例如,各种数的加、减、乘、除运算以及用“大于”“小于”“不等号”来表示数之间的关系式,都反映了各种量的现实联系。加法反映了线段的相加,这个“线段的相加”就是很具体的现实联系。函数关系式,就是物理的、化学的或其他方面的实际问题中具体的量(时间、速度、路程;溶质、溶液、浓度……)和对它们之间的相依关系所作出的抽象和概括。各种方程是反映客观过程的因果规律的数学模型,而其数学模型则是从现实原型中抽象出来的,等等。至于根据具体的实际问题中的等量关系所列出的方程,更明显地具有其客观现实的物质基础。根据以上这些论述,对于代数、几何、三角中的一些数量关系的恒等变换以及相互推导出来的定律、定理、公式或法则,都可以按照以上的观点加以解释和阐述。比如,几何中,由矩形沿它的一边旋转可以导出圆柱形,这种推导,就是反映了客观存在的矩形和圆柱形之间的关系;再如任意二次方程,通过适当的直角坐标平移可以作出标准形状的抛物线或其他标准形状的曲线(如椭圆、双曲线等)。其中,应用抛物线的顶点坐标,可以解答客观现实中某些极值问题。而抛物线,以及它的顶点都存在于客观现实中,因此,任意二次方程也是具有客观现实的物质基础的,正因为它来源于现实,所以它才可能应用于实际。

二、用唯物辩证法的量变质变观点阐述中学数学教学内容,揭示数学的内在规律

唯物辩证法认为,自然界的一切事物都是具有一定的质和量的,其质和量也都是运动变化的,并且呈量变质变互变状态,但事物的运动变化总是从量变开始,由量变引起质变,其量变引起质变后的这个新的质,又开始了新的量变过程。这种从量变到质变的变化方面:从自然数变化发展到整数、分数、从有理数变化发展到无理数、实数、复数。在形的变化方面:从“锐角”逐渐变化到90°时,称为“直角”;从“直角”逐渐变化到大于90°而小于180°时,称为“钝角”;由“钝角”逐渐变化到180°时,称为“平角”。平行四边形由于其角度的变化而变成“矩形”;由两圆连心线的变化而引起两圆的位置发生变化,即两圆连心线长度变化到大于两圆的半径和时两圆相离,变化到等于两圆的半径和时两圆相切,变化到小于两圆半径和而大于半径差时两圆相交,变化到等于两圆的半径差时两圆内切,变化到等于零时两圆成为同心圆;从正多边形的角度量随着边数的不断增加而过渡到圆的度量;从两图形的相等随其对应边的比的变化而成为相似,等等,都是事物从量变到质变的规律的反映。

三、用唯物辩证法的对立统一观点阐述中学数学教学内容,揭示教学的内在规律

同志指出:“对立统一规律是宇宙的根本规律”、“事物的矛盾法则,即对立统一的法则,是唯物辩证法的最根本的法则(《矛盾论》)。”对立统一规律在数学中也有所反映。可以说,数学的发展是在交织着许多对立面的斗争中进行的。概括来说,这些对立面是:具体与抽象,特殊与一般,形式与内容,有限与无限,等等。具体来说,中学数学教材中的正数和负数、奇数和偶数、整数和分数、有理数和无理数、“未知数”和“已知数”、有限集合和无限集合、常量和变量、总量和个体(统计中的概念)、近似和精确、加法和减法、乘法和除法、乘方和开方、端点和终点、直线和曲线、方形和圆形、平行和相交,数学方法的分析和综合、归纳和演绎,表示“无”的0和区别于“无”的“有”……都是矛盾对立的双方,各自以其对方存在为前提,无一方也就无所谓另一方。同时,如同志在《矛盾论》中所说的,“矛盾着的双方,依据一定的条件,各向着其相反的方向转化,以至统一起来。”例如,在等式变形中,把一个数(或式)从等式的一边移到另一边,正的转化为负的,负的转化为正的;或者,在把整个坐标系旋转180°的条件下,正数和负数可以相互转化,即原来的正向变为负向,负向变为正向;或者,把系数扩大到实系数的条件下,有理数和无理数的矛盾就统一起来;在引进负数的条件下,减法和加法统一起来了〈如a-b=a+(-b)〉;在建立了负指数的条件下,除法和乘法统一起来了(如a÷b=a×b-1);在建立了分数指数的条件下,开方和乘方统一起来了(如x=x12)。指出:“每一事物的运动都和它的周围其他事物互相联系着和互相影响着(《矛盾论》)。”客观事物都在对立中运动,而对立着的双方是相互联系相互影响的。在上面所列举的那些反映对立统一规律的中学数学内容,也体现了事物的运动是相互联系相互影响的这一规律。对于事物的运动是相互联系相互影响的这一规律的反映,例如,数学中的定理,都是从有关的不加定义的原始基本概念和公理出发,经演绎推理和归纳推理而用定理的形式建立的,其中的任一定理都可以由前面的有关概念和定理推导出来,接着它又成为推导以后新定理的条件和依据。这很明显地反映了事物的运动是相互联系相互影响的规律。又如,函数(包括代数函数、超越函数)其自变量的值对应着一确定的函数值,自变量的值变了,所对应的函数的值也就变了,即在某变化过程中一个变量依赖于另一个变量变动,故函数关系就是唯物辩证法关于事物的运动变化是相互联系相互影响的规律的反映。因此,凡是数量关系构成函数关系的,我们都可以作如上的解释的阐述。比如,行程问题的表达式,其时间、速度、距离就有着函数关系,因而有着相互联系相互影响的关系;圆周、圆面积与半径的关系,球表面积和球的体积与半径的关系,都有着函数关系因而有着相互联系相互影响的关系。另外,三角形内角的大小与其角所对的边有着相互联系相互影响关系;多边形的内角和与其边数之间有着相互联系相互影响的关系;弧长与圆心角或圆周角、几何条件与点的轨迹、坐标平面上的点与实数对、函数与其图象、直线与方程都各有其相互联系相互影响的关系;解析几何中,从零点这点起,在一条直线上如果一方向规定为正而相反的方向规定为负,则零点就是所有表示正数或负数的这些点与之有关联的所依存的点,等等。又如,指数ab=N与对数logaN=b,是a、b、N三者的同一关系的不同表达形式,它们有着密切的相互联系,等等。概括地说,数学概念中凡是有从属关系的、对应关系的以及数学概念之间有以合成关系为纽带而结合的,都有着密切的联系。

四、用唯物辩证法的否定之否定观点阐述中学数学教学内容,揭示数学的内在规律

对于否定之否定规律,恩格斯指出:“它是一个极其普遍的,因而极其广泛地起作用的,重要的自然、历史和思维的发展规律;这一规律正如我们已经看到的,在动物界和植物界中,在地质学、数学、历史和哲学中起着作用(《反杜林论》)。”这个否定之否定规律在数学中也有所反映。例如,正数a,如果否定它,就得到-a(负a),再否定,以这-a否定(-a乘以-a),就得到+a2,它是处在比原来更高阶段的即二次幂阶段的正数a.例如,为了求切线,要先求割线,再用割线迫近切线,使之转化为切线;为了求瞬时速度,要先求平均速度,再用平均速度迫近瞬时速度,使之转化为瞬时速度,等等。

以上用辨证唯物论和唯物辩证法的基本观点,对中学数学内容所进行的概括的初步分析。对于教材章节中的具体内容,教学中应结合具体的分析,用辨证唯物论和唯物辩证法恰当地阐述,要考虑阐述的方式。可以在数学课本的引言中或在专题中或在每一章的“小结”里阐述,可看阐述的是否恰当和学生能否接受,效果好否而定。