基于指数矩的图像描述

摘 要： 论证一种基于T指数构建的圆谐?傅里叶矩――指数矩（ EFMs），分析其定义原理及其与基于三角函数构建的圆谐?傅里叶矩的关系，验证指数矩作为一种正交不变矩所具有的多畸变不变性质。通过在Matlab软件平台上进行的仿真实验，证明了指数矩的旋转、缩放不变性，得出了指数矩作为一种高度浓缩的图像特征，无信息冗余，抽样性能好，抗噪声能力强，与其他矩相比更适用于多畸变不变图像描述和识别的结论。

关键词： 数字图像； 指数矩； 图像归一化； 不变量

中图分类号： TN964?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2013）14?0112?04

Image description based on exponent moments

WU Yu， ZHAO Jia?ji， PING Zi?liang， DU Hao?xiang

（Century College， Beijing University of Posts and Telecommunications， Beijing 102613， China）

Abstracta： The circular harmonic?Fourier moments established on the basis of exponent， i.e. exponent moments （EMs） are demonstrated in this paper. The analysis of its principle and its relation with the CFMs verifies the multi?distorted invariance that EMs as the orthogonal invariant moments possess. Through a series of simulation experiments on Matlab platform， the rotation invariance and position invariance of EMs were proved. A conclusion that the EMs are more suitable for image description and recognition than other moments since it is a highly?concentrated image characteristic which has good sampling performance and strong anti?noise ability， but has no information redundancy.

Keywords： digital image； exponent moment； image normalization； invariant

数字图像处理技术以其信息量大、处理和传输方便、应用范围广等优点，成为人类获取信息的重要来源和利用信息的重要手段，并在宇宙探测、遥感、生物医学、工农业生产、军事、公安、办公自动化等领域得到了广泛应用，显示出广泛的应用前景。在图像处理的应用中，目标识别技术[1]就是使用对目标的抽象描述来有效地进行目标表示与比较，这种描述一般定义为从各种图像中提取的特征。矩在统计学中用于表征随机量的分布，而在力学中用于表征物质的空间分布，若把二值图像或灰度图像看作是二维密度分布函数，矩就可以提取为用于描述一幅图像的特征[2]。1962年，M.K.Hu根据几何不变量理论引进了几何矩的概念。Teague等提出的正交矩解决了如何用较少的矩更好地描述图像的问题，Y.L.Sheng提出的正交傅里叶?梅林矩（OFFMs）在描述图像方面优于其他正交不变矩。2002年，平子良等提出了切比雪夫?傅里叶矩（CFMs），获得了与OFFMs相似的结果。2003年，任海萍等提出采用三角函数构建圆谐?傅里叶矩（CFMs），并从归一化图像重建误差、噪声灵敏度等方面对其图像描述能力进行了分析，证明它在各种描绘图像的矩中性能最好[3?4]。2010年，平子良等提出一种基于指数构建的圆谐?傅里叶矩――指数矩（EFMs） ，与基于三角函数构建的圆谐傅里叶矩相比，指数矩不仅性能优良，而且形式简单、计算速度快。

矩和矩函数已被广泛应用于图像识别、图像分类、图像变换、图像传输、图像压缩等图像信息处理技术领域。本文旨在研究指数矩的图像描述能力，对指数矩的理论依据进行推导验证，并基于指数矩进行了图像的恢复重建等仿真实验，验证了指数矩不变量的旋转、缩放不变性。

1 指数矩

1.1 圆谐?傅里叶矩

圆谐?傅里叶矩[5]这种正交矩本身不是多畸变不变量，经过适当的变换可以得到多畸变不变性。圆谐?傅里叶矩不变量对图像的平移、缩放、旋转具有不变性。圆谐?傅里叶矩定义在极坐标下，它的基函数是由径向函数，和角向的傅里叶因子组成：

（1）

式中：n为非负数；m为整数；r的取值范围为，θ的取值范围为。圆谐?傅里叶矩的径向基函数主要由正交完备的三角函数系构成：

在内，径向基函数，是加权正交的：

（2）

根据上式和角向傅里叶因子的性质，圆谐?傅里叶矩的基函数在单位圆，内是正交的：

（3）

圆谐?傅里叶矩实际上就是将函数图像投影在圆谐?傅里叶矩的基函数上得到的系数，它在极坐标下的表达式可写为：

（4）

式中是图像函数的圆谐?傅里叶矩。

1.2 指数矩

指数矩是通过以更为简洁的复指数函数代替三角函数，从而实现的一种基于指数构建的圆谐?傅里叶矩[5]。

根据欧拉公式：

（5）

可知，正弦函数和余弦函数可以表示为复指数函数的形式，将圆谐?傅里叶矩径向基函数中的三角函数用复指数形式表示，即：

（6）

式中：n的取值范围是所有整数；r的取值范围为。

在极坐标系中，定义基函数系，为：

（7）

式中：为径向基函数；为角向基函数，m的取值范围是所有整数。

根据和角向傅里叶因子的性质可知，函数系在单位圆内是正交的，即

（8）

按照函数正交理论，在极坐标系中图像函数可以分解为函数系的无限加权和，即：

（9）

式中为展开式的系数。对一个图像函数，称其在基函数上的展开式系数为阶指数――傅里叶矩（Exponential?Fourier moments，EFMs），定义表达式为： （10）

2 图像重建

图像函数是定义在直角坐标下的函数，指数矩是定义在极坐标下图像函数和基函数的积分，为了计算的方便，传统的计算指数矩的方法是在直角坐标下进行的。首先将极坐标下指数矩的表达式转化为直角坐标下的表达式，然后根据直角坐标下的公式计算图像的指数矩。极坐标下指数矩的表达式由前文给出，若要得到直角坐标下的表达式，首先要进行极坐标和直角坐标之间的转换，二维坐标平面上任一点的极坐标和直角坐标转换公式为：

（11）

（12）

积分微元在两种坐标下的转换公式为：

（13）

根据式（11）和（12），可以将被积函数中的变量由极坐标形式转化为直角坐标形式，根据式（13），可以将微元表示为直角坐标下的形式，这样通过坐标变换就可以将指数矩表示为直角坐标下的表达式

（14）

根据直角坐标下的指数矩的积分表达式（14）可看出，在计算图像指数矩时，积分变量的变化范围是，所以首先需要将图像归一化到单位圆内，并使图像的中心位于单位圆的圆心，将图像归一化后所计算的指数矩就具有了缩放不变性。将图像归一化到单位圆内后，取每个像素所确定的小区域的中心点作为被积函数的函数值的抽样点，将像素坐标转化为单位圆内的离散坐标而后进行函数值抽样，则像素坐标转化为单位圆内的坐标公式为：

（15）

（16）

（17）

（18）

对于一个的图像，上述公式将像素坐标转化为外接单位圆内的坐标，且圆心位于图像中心。表示在每个像素确定的小区域的中心点的坐标值，满足，每个像素确定的小区域的面积为。在每个像素所确定的小区域内，积分变量和被积函数的取值点为，像素点的图像函数值为，指数矩的基函数值为：

（19）

由此再根据指数矩在直角坐标下的积分表达式可得出直角坐标下指数矩的离散形式的表达式：

（20）

对图像函数，由上式计算出它的指数矩之后，可以利用有限个指数矩来近似重构图像函数。极坐标下利用有限个指数矩近似重构图像函数的表达式写为：

（21）

可将上式表示为直角坐标下重构图像函数的表达式：

（22）

对于不同图像不同阶数的分解重构仿真结果分别如图1～图3所示。

图1 字母图像重构

图2 RGB图像重构

图3 文字图像重构

在Matlab软件平台上的仿真实验结果表明：对于字母图像，用10阶的指数矩即可成功重构可辨认的图像；对于普通图像，用15阶的指数矩即可成功重构可辨认的图像；对于文字图像，用20阶的指数矩即可成功重构可辨认的图像。因此，指数矩与其他描述图像的矩一样具有非常有效的图像描述性能，能够完整、无冗余的重构图像。

3 旋转不变性

指数矩的模具有旋转不变的性质。设为极坐标下的图像函数，其指数矩为，将原图像旋转角度生成图像，图像的指数矩为，根据指数矩的计算公式，极坐标下的指数矩为：

（23）

对上式两端取模：

（24）

由上式可知，将图像旋转一个角度后的指数矩的模与原始图像的指数矩的模是相等的，也就是说指数矩的模具有旋转不变性。对比两图像的指数矩，还可以得出图像的旋转角度。对文字图像进行30°，150°，210°，330°的旋转变换仿真结果如图4所示。对图像分别旋转30°，150°，210°，330°，变换后指数矩的模始终不变，三维直方图如图5所示。

4 缩放不变性

计算缩放不变的指数矩时，对一个给定的图像函数，找到图像半径的，则的变化范围为，其归一化的图像函数：

（25）

其中的变化范围为，为归一化后的图像函数，利用归一化的函数计算所得到的指数矩就具有缩放不变性。因为，同一图像函数，缩放而得到的任一图像按照式（25）最终都归一化为同一个函数，所以归一化后的图像指数矩就具有了缩放不变性。

图4 图像旋转

图5 指数矩模值三维直方图

对文字图像进行放大2倍、缩小2倍的缩放仿真结果如图6所示。对图像分别进行放大2倍、缩小2倍，变换后指数矩的模始终不变，三维直方图如图7所示。

在Matlab软件平台上的仿真实验结果表明：在对图像进行30°，150°，210°，330的旋转变换后，图像质量没有受损，指数矩模值没有改变；对图像进行放大2倍、缩小2倍的缩放变换后，图像质量没有受损，指数矩模值没有改变。因此，验证了指数矩的不变量具有旋转不变性和缩放不变性。

图6 图像缩放

图7 指数矩模值三维直方图

5 结 论

本文论证了一种基于指数构建的圆谐?傅里叶矩――指数矩（EFMs）以及其在图像描述中的应用。对比探究了指数矩与基于三角函数构建的圆谐?傅里叶矩（CFMs）的关系，推导了指数矩的定义及其不变性的理论依据。

通过在Matlab平台上的一系列仿真实验，验证了指数矩能够重构图像等优良的图像描述能力以及其旋转不变性和缩放不变性。由此，证明了指数矩可以作为一种多畸变不变的图像特征而被应用于数字图象处理与识别等领域当中。

参考文献

[1] 冈萨雷斯.数字图像处理[M].阮秋琦，译.北京：电子工业出版社，2007.

[2] 王晓红.矩技术及其在图像处理与识别中的应用研究[D].西安：西北工业大学，2001.

[3] 平子良，盛云龙.用切比雪夫图像矩描述图像[J].内蒙古师范大学学报：自然科学汉文版，2002，31（3）：216?219.

[4] 孟敏，平子良. 基于指数矩的图像分解和重建[J].内蒙古师范大学学报：自然科学汉文版，2011，40（3）：56?58.

[5] 银国瑞.基于圆谐?傅里叶矩的抗几何攻击数字水印算法研究[D].内蒙古：内蒙古师范大学，2009.

[6] 姜永静.指数矩及其在模式识别中的应用[D].北京：北京邮电大学，2011.