时间：2022-06-11 10:47:59
直线x=my+b是由定点(b,0)和参数m确定的,故称此方程为直线的点参式方程?郾 在解与直线有关的问题时,若能灵活地运用此方程,不仅可回避对直线斜率是否存在的分类讨论,而且可以简化运算,优化解题过程,提高解题速度?郾 现例析如下,供同学们参考?郾
一、求解直线的倾斜角
例1 过点M(2,0)的直线L交曲线C:y2=4(x-1)于P、Q两点,E点坐标是(1,0),若EPQ的面积为4,求直线L的倾斜角α的值?郾
解析 设直线L的方程为x=my+2,设P(x1,y1),Q(x2,y2)?郾
由x=my+2,y2=4(x-1), 得y2-4my-4=0,
y1+y2=4m,y1y2=-4?郾
又 |y1-y2|=■=■=4■,
SEPQ=■|EM||y1-y2|=4,即■×1×4■=4,解得m=±■,
tanα=■=±■.
故α=■或■?郾
二、求解三角形的面积
例2 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是过焦点的弦,且AB的倾斜角为30°,则OAB的面积为 ?郾
解析 抛物线的焦点为F(■,0),直线AB的倾斜角为30°,即斜率为■,设直线AB的方程为x=■y+■?郾
由x=■y+■,y2=2px, 得y2-2■py-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),得y1+y2=2■p,y1y2=-p2.
又 |y1-y2|=■=■=4p,
S■=■・|OF|・|y1-y2|=■・■・4p=p2?郾
三、求解轨迹问题
例3 过抛物线y2=4x的焦点的直线L与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点,求OAB的重心G的轨迹方程?郾
解析 抛物线的焦点为F(1,0),设直线AB的方程为:x=my+1.
由x=my+1,y2=4x, 得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),重心G(x,y),得y1+y2=4m, x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=4m2+2,
x=■(x1+x2+0)=■(4m2+2),y=■(y1+y2+0)=■m?郾
消去m得OAB的重心G的轨迹方程为:y2=■x-■?郾
四、证明点共线
例4 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:直线AC经过原点O?郾
解析 设过焦点F(■,0)的直线AB的方程为x=my+■,设A(x1,y1),B(x2,y2)?郾
由x=my+■,y2=2px,得y2-2mpy-p2=0,
y1y2=-p2,即y2=■?郾
BC∥x轴,且点C在准线x=-■上,
点C的坐标为(-■,y2),KOC=■=■=■=KOA?郾
故直线AC经过原点O?郾
五、研究探索性问题
例5 已知抛物线y2=4x,在x轴上是否存在一点P(m,0),使得过点P任意作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由?郾
解析 假设存在点P(m,0)满足题意?郾 设过点P作的弦为MN,直线MN的方程为x=ny+m,设M(x1,y1),N(x2,y2).
由x=ny+m,y2=4x, 得y2-4ny-4m=0,
y1+y2=4n,y1y2=-4m,
x1x2=(ny1+m)(ny2+m)
=n2y1y2+nm(y1+y2)+m2
=m2?郾
若以弦MN为直径的圆过原点,则有OMON,
x1x2+y1y2=0,
m2-4m=0,解得m=4或m=0(不合题意)?郾
故存在点P(4,0)满足题意?郾