时间：2022-06-11 05:58:55
在近几年江苏高考数学试题中，圆锥曲线分量较重，大多数考生过不了关，拿不到高分。那么高分从哪里来？一是从审题中来，要挖掘隐含条件；二是从思想中来，要做到数形结合；三是从方法中来，要利用几何意义；四是从运算中来，要突出模块运算。
你能按照上述四个方面来训练吗？
1. 椭圆x240+y220=1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，PF1F2为直角三角形，则这样的P点有个.
2. 若曲线C1：x2+y2-2x=0与曲线C2：y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是.
3. 过双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点F作渐近线y=bax的垂线，与双曲线左、右两支都相交，则双曲线离心率的取值范围为.
4. 如果一条直线l与椭圆E：x2+y29=1交于M，N两个不同的点，使得线段MN恰好被直线x=-12平分，则直线l的倾斜角的取值范围为.
圆锥曲线试题一般分为三类：位置问题：直线与曲线的交点的判断、弦长、面积、对称、共线；定点、定值、最值，从动态角度去研究；范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系或不等关系.
【例1】已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，点C在l上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为-3的直线与曲线M相交于A、B两点.
（i） 问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii） 当ABC为钝角三角形时，求点C的纵坐标的取值范围.
分析（1）求轨迹方程时可考虑直接法，或用圆锥曲线的定义；
（2）根据正三角形的几何特征，利用边长相等求解；
（3）解析几何中关于角的问题的处理：①余弦定理；②向量夹角公式；③先特殊考虑直角。
（1） 解法一：曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.
解法二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=（x-1）2+y2.化简得y2=4x.
（2） （i） 由题意得，直线AB的方程为y=-3（x-1）.由y=-3（x-1），
y2=4x，消去y得3x2-10x+3=0，解得x1=13，x2=3.所以A点坐标为13，233，B点坐标为（3，-23），|AB|=x1+x2+2=163.假设存在点C（-1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即（3+1）2+（y+23）2=1632①
13+12+y-2332=1632②由①-②得42+（y+23）2=432+y-2332，解得y=-1439.但y=-1439不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形.
（ii） 解法一：设C（-1，y）使ABC成钝角三角形，由y=-3（x-1）
x=-1，得y=23，即当点C的坐标为（-1，23）时，A、B、C三点共线，故y≠23.又AC2=-1-132+y-2332=289-43y3+y2，BC2=（3+1）2+（y+23）2=28+43y+y2，AB2=1632=2569.当∠CAB为钝角时，cosA=AB2+AC2-|BC|22|AB|·|AC||AC|2+|AB|2，即28+43y+y2>289-433y+y2+2569，即y>293时，∠CAB为钝角.当|AC|2>|BC|2+|AB|2，即289-433y+y2>28+43y+y2+2569，即y|AC|2+|BC|2，即2569>289-43y3+y2+28+43y+y2，即y2+433y+43
解法二：以AB为直径的圆的方程为x-532+y+2332=832.圆心53，-233到直线l：x=-1的距离为83，所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G-1，-233.当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即ABC中，∠ACB不可能是钝角.因此，要使ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.过点A且与AB垂直的直线方程为y-233=33x-13.令x=-1得y=239.过点B且与AB垂直的直线方程为y+23=33（x-3）.令x=-1得y=-1033.
又由y=-3（x-1）
x=-1，解得y=23，所以，当点C的坐标为（-1，23）时，A、B、C三点共线，不构成三角形.因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y239（y≠23）.
牛刀小试
1. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m-y2m2+4=1的离心率为5，则m的值为.
2. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是.
3. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为.
4. 椭圆x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y2=2bx的焦点为F.若F1F=3FF2，则此椭圆的离心率为.
5. 如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x=4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上动点，PMl，垂足为M.是否存在点P，使得FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
（作者：滕卫忠启东市汇龙中学）