一道数列不等式的教学思考

题目数列满足

（1）是否存在常数，，使得数列是等比数列？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；

（2）设，，证明：当时，.

这是笔者无意间看到的上届高三模拟试卷中的一道题，由于第二问是一道数列不等式的证明题，便引起了笔者的兴趣，恰好笔者需要这一方面的复习素材.

一、教学过程

易得，，所以，原不等式即证（）

背景很熟悉，在不等式选讲（人教A版选修4―5）给学生讲过类似的题目：

（）

于是我搞了一个小测验，发现56%的学生能顺利完成第（1）问，但让我感到惊讶的是全班63名学生中，竟然没有一名学生做对第（2）问，到底第（2）问难在什么地方呢？请看下面的教学片段

生1：（）

教师：显然，与还有差距，能否把不等式放缩的脚步放慢点

生2：易证当时，不等式成立

当时，

（）

教师：与更接近了，但还是没达到目的

由于生2的证法让学生看到希望，马上又有学生举手

生3：易证当时，不等式成立

当时，

（）

教师：又向前迈进了一步，但还达不到目的，如果再往后慢一步呢？

生3：还是不行

点评：此时学生已经感觉到情况不妙！发现用此种方法根本就达不到要求，每次都是差

那么一点点. 问题处理至此，学生的思维受阻，这恰是从失败走向成功的关键点. [1]

大凡解题，不外乎看条件、看目标、看结果. 宏观看目标，微观看结构. 因为条件与目标之间的异同，就体现在结构上，包括微观的图形结构、式子结构与宏观的问题本省的层次结构。在数学教学中，引导学生关注数式结构、图形结构和程序结构的层次性、相似性、独立性，关联性，教会学生对问题结构进行准确地解够，可以极大地升华数学思想，感悟数学本质，明确思维方向，优化解题策略，缩短思考时间，提高解题能力. [2]

教师：经过刚才的论证发现（）这种放缩的幅度大了，有没有放缩的幅度小一点的方法呢？

生4：（）

教师：你怎么知道这种放缩的幅度要小些呢？

生4：第一种：；第二种：

教师：精彩！好，你在黑板上板书一下

生4：

（学生刚刚被唤起的斗志一下子又被浇灭，但心又有不甘，似不想走下讲台，我们知道错误往往是正确的先导，是我们最好的老师，错误和挫折可以使我们变得聪明起来 由于学生4的执着，他又上了黑板，看得出来他没有把握，前后只不过1分钟而已）

生4：易证当时，不等式成立

当时，

教师：十分精彩，借助了前面的处理技巧，现学现用。生4的不卑不亢、不轻易放弃的精神值得大家去学习

二、教学感悟

1.关于数列不等式的证明问题，一直是高考的热点内容之一，其难点就是不等式放缩的灵活性.要做到恰到好处，不能多一点，也不能少一点。因此它能有效区分考生的数学能力，这也是高考命题者所青睐的原因之一，在高三的复习过程中教师要善于挖掘例题潜在的教育功能，使学生通过一个题目的学习，学到更多的知识，特别是注意培养学生的探究能力及学好用例题的意识。

2.每个学生都有着探究的热情、探究的欲望和创造的潜能，他们不仅能发现问题，提出问题，而且还能很好的解决问题 .能不能将他们的潜能充分地挖掘出来，关键在于教师能否为他们提供和创设良好的教学环境

3.同时教师在备课中要精心预设，不预则不立，但同时又不能只顾预设而固步自封于教案中，（原本我准备直接给学生讲解答案，临时放弃了原来的教学计划）要考虑到大部分学生的实际情况，以便在有限的复习时间内提高复习的效率.

总之，数学课堂上的生成是真实而美丽的，稍纵即逝可遇而不可求的.这就要求教师要有拨乱反正的胆识，要有取舍扬弃的智慧，及时扑捉一些有用的问题，顺势引导，让有价值的资源渐入佳境，别有洞天，让看似平常的资源，峰回路转，柳暗花明；让极易擦肩而过的资源化险为夷，绝处逢生，使学生的思维能在活而不乱、趣而不俗的空间里畅所欲言，自由放飞，使课堂精彩纷呈，焕发出生命的活力。

参考文献

[1]杜继渠.让本以为行不通变为可行. 中学数学，2010（9）

[2]赵思林.2010年高考数学创新型试题分类点评.中学数学，2010（9）

[3]钱军先，芮国英.让数学课堂在预设与生成的和谐统一中演绎精彩.中学数学，2010（11）

“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”