勾股定理逆定理的运用价值

【关键词】 数学教学;勾股定理逆定理;教学价值

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004―0463（2015） 10―0119―01

数学教学中应深入挖掘教材，在传授数学知识的同时，充分展示其内在功能.本文对八年级上册第一章中“勾股定理的逆定理”的运用价值作一探讨分析.

一、展示数学辩证统一思想

数学知识是一个有机整体，许多知识点有着内在辩证统一的联系，而“勾股定理的逆定理”是在“勾股定理”研究的基础上形成的.两个定理不但组成一对完善的互逆定理，而且在研究过程中亦展现了数学知识内部发展、运动的辩证统一关系.数学教学中，要充分地揭示两定理的互逆性和统一性，加深学生对勾股定理本质的认识，进而亲身体验矛盾转化的美感.

例1 如图1，ABC中，CD是边AB上的高.

（1）若∠ACB=90°，求证：CD2=AD・BD;

（2）若CD2=AD・BD，求证：∠ACB=90°.

证明：（1）由勾股定理得

（AD2+CD2）+（BD2+CD2）=AD2+2CD2+BD2…… ①

又AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2=AD2+2・AD・BD+BD2…… ②

由①、②可得：CD2=AD・BD

（2）由已知，AB2=（AD+BD）2=AD2+2・AD・BD+BD2=AD2+2CD2+BD2=AC2+BC2.由勾股定理的逆定理可得∠ACD=90°.

二、渗透数学建模思想

数学建模思想是连接数学与现实的桥梁，是学生领悟数学“源于生活，又用于生活”的理想途径.教学中应结合教材，把数学建模思想融合于知识学习之中，使知识点的内在价值得到充分体现.

例2 古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图2那样钉成一个三角形，其中一个角便是直角.说明这种做法的根据.

例3 已知ABC中，三边长分别为a，b，c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>0），求证∠C=90°.

由例2可见，数学建模思想自古有之，是人类长期实践的结晶，是人类灿烂文明的一部分，数学中应将它发扬光大.而例3作为一个几何命题，实质上给出了勾股数的一个数学模型，由此可轻而易举地完成练习：“除3，4，5外，再找出五组勾股数”.由上面两例可见，数学建模思想在数学与非数学领域的导向性价值，亦可见课本编者匠心所在.

三、强化数形结合思想

华罗庚教授指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”如何使学生接受、理解并掌握数形结合思想，进而在分析问题、解决问题中能较熟练的运用，向来是数学教学的重点和长期任务之一.

例4 如图3，ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，求证：AB=AC.

由例4证明过程知，根据勾股定理逆定理，对ABC三边进行精确的数量运算，并结合图形，可得∠ADB=∠ADC=90°.先由RtACD图形的直观特征，用勾股定理计算出AC=13cm，最后由数的关系得到图形相等关系AB=AC.

四、 “问题解决”的综合实践思想

“问题”是数学的心脏，而“问题解决”是数学永恒的主题.初中学生在数学学习过程中，时刻在感受、体验“问题解决”的内涵.如何紧扣教材知识点，组织形成“问题情境”，使学生参与到“问题解决”的过程中，从而提高数学思维能力，已经成为教学重要任务之一.而该章“勾股定理逆定理”所隐含的极有价值的有关素材，正可不失时机地加以挖掘和应用.

例5 在ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2， 求证：∠C=90°.

略证：作A′B′C，使∠C′=90°，BC=a，AC=b，则由勾股定理得：A′B′=c=AB，所以ABC≌A′B′C′.由此∠C=∠C′=90°得证.

例6 如图4 ，已知∠1=90°，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，求证：∠D=90°.

略证 RTABC中，由勾股定理可得AC=5，在ADC中由勾股定理可得∠D=90°.

上述例5、例6的结论是类似的，都是证明“一个角等于直角”，然而证明所用的方法并不相同.结合上述两例，自然可概括出证明“一个角等于直角”（或“两条直角线相互垂直”）的一些常用分析证明方法.

综上所述，可看出勾股定理的逆定理在证明垂直时的重要作用和价值.因此，在教学时特别要加以强调，使学生牢牢掌握，并能灵活应用定理解决实际问题.