基于变换光学的倍频方法

【摘 要】 傅里叶光学是近年来的光学中一个迅速发展的新学科，他是以傅里叶变换为工具，以阿贝成像原理为理论基础，本文提出了一种基于空间频率的的倍频方法。首先使用黑白光栅做空间滤波实验，得到频率越高的次波得到的图样越细锐的结论；其次由于光的色散规律引入闪耀光栅，通过设定闪耀角使衍射零级和干涉零级分开，让高级次的次波能够得到足够的能量，在像平面上得到清晰的图像；最后使用软件模拟特定闪耀角的闪耀光栅，进行模拟实验，验证预期的结果。

【关键词】 阿贝成像原理 闪耀角 傅里叶变换 倍频方法

1 引言

光学信息处理是综合利用光学频谱分析和傅里叶变换。阿贝成像原理是一种二次成像的过程，而阿贝-波特实验室在阿贝成像原理的基础上让特定的光波通过频谱面，观察像平面成像的结果，分析成像的原因。

增加单位面积上的刻线数，一方面可以增加表面积，例如太阳能热水器是通过增加表面积来提高太阳能的利用率；另一方面可以使两条线的距离尽可能的短，在集成电路等方面具有重要的作用，也就是可以使与非门的距离再一次减小，也就可以使电子元件在此减小。

倍频方法是指在阿贝波特滤波实验的基础上让不同的次波经过频谱面，在像平面上形成相干条纹，且频率越高的次波单位面积上的相干条纹越多。

2 原理介绍

2.1 阿贝成像原理

阿贝成像原理分成两步，第一步分频，物平面上发出的光波经物镜，在其后的焦平面上产生夫琅禾费衍射，也就是第一次衍射的像；第二步合成，将上一步的衍射像作为相干光源，由它发出的次波在像平面上进行相干叠加在像平面上出现物的像，也就是二次衍射。图1中O是物，F面称为傅氏面，在阿贝-波特原理图中也称为频谱面，是像平面。

阿贝成像原理是以正弦光栅为物，变换函数 ，平行光入射，将正弦光栅做傅里叶变换得到 ，正弦光栅的物光波，在傅氏面上只有三个衍射斑，和图1的F面上，，相对应，也就是正弦光栅可以分成3个次波，0级波的方向是，-1级波方向，+1级波的方向（参考文献1）。三列次再次作为相干光源，在像平面上进行相干叠加，得到，，，阿贝同时又在理论上证明了像和物的相似性。

2.2 傅里叶变换

傅里叶变换是一种数学方法，它能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数正余弦或它们的积分线性组合的方式。它的意义表现在，任何连续测量的时序或信号，都可以表示成不同频率的正弦信号的无限叠加。

周期为d的周期函数T（x）可以表示成如下的形式：

其中，。

当T（x）表示光栅时，d是空间频率，fn表示n次波的频率。

2.3 空间滤波实验

阿贝波特滤波实验提出了一种滤波的思想，频谱面上，让不同的次波有选择的通过频谱面在像平面上产生不同的像。阿贝波特滤波实验证明了：阿贝成像原理的正确性，像的结构直接依赖于频谱结构，只要改变频谱的组分，便能够改变像的结构，像和物的相似程度完全取决于物体有多少频率成分能被系统传递到像面；傅里叶分析和综合的正确性，即频谱面上的横向分布式物的纵向结构信息；频谱面上的纵向分布式物的横向结构信息。

阿贝波特滤波实验采用的是二维光栅，本文利用黑白光栅来阐述倍频观点，但是具体操作的时候应该使用闪耀光栅。黑白光栅和闪耀光栅除了外观上不同之外，其原理是相同的，区别在于，黑白光栅是透射式光栅，而闪耀光栅则是反射式光栅。

3 倍频方式的提出

3.1 黑白光栅的傅里叶展开

假设黑白光栅的投射率函数，光栅周期d，透光部分的宽度为a，不透光宽度为b，且d=a+b，设定a=b。求系数

根将系数带入黑白光栅的投射率函数T（x）中得到展开式为：

…其中且。在图3中，一束光经过黑白光栅的作用，形成一系列次波。正好与傅里叶展开式的每一项进行相应的对应，周期为d的黑白光栅可以看成是由频率，及3、5等许多的正弦光栅组成。且由于振幅的不断减小，次波的光强也锐减。

由展开式知道，在傅氏面上只有奇数级次的次波才存在，偶次波在光栅的作用下消失了，处于3级的次波的频率是1级次波频率的3被，依次类推越到后来其频率也就越高，但是光强是一个不能忽略的因素，0级位置是能量最大的地方，由于0级没有色散的问题，这些事能量的浪费，而处于1级和3级依稀可见，但是3级的光强就小于1级很多了，再往后就不容易分辨了。

3.2 倍频方法的提出

经过黑白光栅的一束光，在傅氏面上形成一系列的衍射斑，这些衍射斑恰好对应3.1中的傅里叶展开式中的每一项，这也是傅里叶变换能够融入变换光学的一个重要原因。这些衍射斑在变换光学的角度就是采用被分成频率不同的次光波，采用滤波的方法，让不同的级次的次波在想平面上进行相干叠加，单位面积上产生的相干条纹数量是不一样的，它与该次波的空间频率有关系，也就是空间频率越高的次波在想平面上形成的相干条纹越细锐，后面的次波都是一级次波的倍数，在空间频率加倍的基础上实现在像平面处单位面积上的条纹数倍增加，表现在越高级的次波在像平面上的条纹间距越小。

随着进行相干叠加的次波级次的增加，单位面积上的条纹数成倍增加，也就在某种程度上实现了倍频的方式。由于光强的影响，级次的不断增加，但是相应的光强也是锐减的。为了解决二者之间的冲突，本文引入闪耀光栅。

4 闪耀光栅

4.1 闪耀光栅的引入

黑白光栅是衍射和干涉的综合作用的结果，再由干涉和衍射的特性，干涉0级的位置与光程差有关，因此它的位置只与相对于光栅平面大的入射角度有关系，衍射0级的位置是在它相对于闪耀面的几何像点上。当我们使用黑白光栅时如图2的前半部分衍射0级和干涉0级重合了，光程差，只与入射的角度有关系，因此干涉0级位置是固定的，而衍射0级与闪耀面有关。当闪耀面倾斜的时候衍射0级就偏离了干涉0级的位置。如图2的后半部分当使用闪耀光栅时，通过引入闪耀角，可以使衍射0级移动，可以通过控制闪耀角来改变衍射0级的位置，也就是控制了光强的移动方向。使高级的次波有足够的干涉能量，可以再像平面上得到清晰的二次干涉效果，也就是倍频效果的实现。

4.2 闪耀角的计算

闪耀角是闪耀面与光栅的夹角。闪耀角记为，当采用垂直于光栅平面的照射方式时，如图5，它的相邻缝间的光程差，光栅方程。；当闪耀角很小时，采用近似计算的方式也就是。

MATLAB仿真软件采用的是波长为500nm的激光作为仿真的光源，根据不同的闪耀级次相干叠加，通过公式计算闪耀角的值。闪耀光栅周期d=20mm，当j=1是闪耀角=12.5mrad；当j=3时闪耀角=3；当j=5时闪耀角=5。闪耀角是闪耀光栅的一个固定值，根据光栅方程，当固定时，光栅的入射波长变化时，可以调节j的值来满足光栅方程。因此，本实验闪耀光栅的闪耀角是通过固定的入射波长计算出来的，当入射光的波长变化时，也可以在相应的级次上得到理想的干涉效果。

5 计算机仿真

（1）原始数据的仿真，仿真实验使用MATLAB模拟光的干涉和衍射。光强其中，。a为透光部分的长度，d为光栅周期。且d=2a。如图3蓝色为干涉单独作用，红色线条是衍射因子扩大了N*N倍的效果，后半部分是共同作用的结果图像，其最大值是在0级位置。

（2）加入偏移量的仿真，也就是把闪耀角带入到光强公式得到其中，，其中， ，本文采用特殊的照明方式，垂直于光栅平面照射，采用+的方式得到如入效果，相当于在上图的基础上进行了平移。图4（a）是当j=1时的效果图，干涉零级和衍射1级相叠加，当而图4（b）是j=3时的效果图干涉零级和衍射3级相叠加。

（3）光栅和像平面成像的计算机仿真对比，图5（a）是在上面图4（a）的情况下，光栅平面的模拟图和想平面上的干涉模拟对比的结果，而图图5（b）是在上面图4（b）的情况下，光栅平面的模拟图和想平面上的干涉模拟对比的结果。通过对比得到随着进行相干叠加的次级波的级次增加，单位长度上的干涉条纹数量成倍的增加，倍频的方式通过仿真软件得到了证明。

参考文献：

[1]崔宏滨，光学，科学出版社，2008.

[2]赵凯华，新概念物理教程，高等教育出版社.

[3]蒋长锦，蒋勇.快速傅里叶变换及c程序[M].中国科技大学出版社.

[4]李芳菊，董康军.利用阿贝成像原理制作低频全息光栅[J].物理实验室，2008，28（5）：37-38.

[5]于美文.光学全息及信息处理[M].北京：国防工业出版社.

[6]陈家璧，苏显渝.光学信息技术原理及应用.北京：高等教育出版社，2002.

[7]刘继芳.现代光学西安电子科技大学出版社，2004.