物极必反,数学亦如是

哥穗尔定理让我们看到数学演绎推理的局限性，但是，数学本身又能通过推理论证自己的局限，造就显示了数学的力量。

存在着在形式推理范围内不可证明的真命题，其实也没有什么不得了的，人类对事物规律的认识是不断深入、逐步推进的，在形式系统内不可证的命题，也许可以在系统之外――在更大的系统之内求证。

比方说，如果我们知道哥穗巴赫猜想在现在的算术系统里是不能被证明也不能被反证的话，就可以断定它一定成立，因为如果它不成立，必然可以被反证，这种推理方式已超出了形式系统的规则，事实上现在我们并不知道它能不能被反证。

或许我们还可以不断扩大算术形式的系统，使系统能一次又一次地、更加全面地反映自然数的性质，尽管形式系统永远也不可能给自然数系以完全的描述，但人类的认识是在不断的辩证关系中逐步解决的。

哥穗尔定理表明，即使在数学这样最精确、最严密的科学之中，也存在人们对某事物的认识永远也不可能达到绝对真理的地步，绝对真理是无数相对真理的总和，人们只能在认识相对夏理的过程甲逐步逼近绝对真理。

另一方面，哥穗尔定理告诉我们，数学的协调性不能在算术的形式系统之内得到证明，但并没有否定它在形式系统之外证明算术协调性的可能。

另外一些数学家，包括哥德尔本人在内，他们都进行过算术协调性的证明，这些证明不可避免地要用到形式算术系统之外的一些假定，也麓是说，在比算术系统更大的系统中证明算术的协调性，首先要考虑这个更大的系统是否协调，总之我们不能在系统内部进行求证。

我们看到一个有趣的现象，包括微积分、几何在内的整个数学的协调性，是逐步划归到越来越小的系统的协调性中的，到了算术系统小得不能再小的时候，再想证明协调性，就反而是把系统扩大了，这就是“物板必反”的表现!

对数学基础的研究正是这样，当人们觉得已把问题弄得越来越简单，越来越明白的时候，忽然发现一切变得复杂起来了，也就是说当人们以为自己真正掌握了“终极真理”时，其实在数学推理的范畴里它已像泥鳅一样从你的指缝中溜走。

事实上，数学的力量已发晨到空前成熟　的阶段。就像一个成熟的能对自己作出恰如其分评价的成年人――他已经不再是不知天高地厚的毛头小伙子了。

我们得知数学的力量本身也存在局限，可数学依然信心十足，虽然它不能证明自己的协调性，但依旧被其他多门科学所信任。