利用斜率原理解析《财务管理》中的插值法

[摘 要] 在查复利系数表或年金系数表时，如果i和n任意一个为未知，常常用到插值法，但现行教材往往没有对插值法的原理和实质进行清楚地解析，初学者对该方法不易理解和掌握。本文根据教学实践经验，使用斜率原理解析插值法，效果比较理想。

[关键词] 插值法 斜率原理 求解步骤

一、插值法的实质

在查复利系数表或年金系数表时，如果i和n任意一个为未知，常常须用到插值法。例如投资方案的实际利率计算，项目有效期、内涵报酬率和债券收益率的求解都必须应用插值法求解。然而，现行教材往往没有对插值法的原理和实质进行清楚地解析，初学者对该方法不易理解和掌握。基于此，学术界也开始针对插值法的实质提出了自己的观点。诸如田笑丰在2008年“会计之友”第4期提出用近似直角三角形相似解析插值法;关继芳在2008年“会计之友”第6期提出用数轴比例推算法解析插值法。这些观点都有其合理性，但始终没有探索到插值法的实质。

插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题。其实质是利用函数f(x）在某区间中若干点的函数值，做出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x）的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

二、斜率原理

斜率是用来量度斜坡的斜度。在数学上，它是直线的倾斜程度的量度，计算公式为k=y/x。众所周知，两点确定一条直线，也就是两点就能确定这条直线的斜率。因此，利用两点的坐标值可以计算出这条直线的斜率。任意给定两点A（x1,y1）、B（x2,y2），则AB的斜率kAB=（y2-y1）/(x2-x1)。对于曲线来说，上面某点的斜率则反映了此曲线的变量在此点处的变化快慢程度，计算公式为k=dy/dz，d是微分算符。在解析几何中，斜率是定义直线与给定直线之间夹角的大小，一般来说，给定直线是x轴，设这个夹角是θ,定义斜率k=tanθ。

斜率原理主要体现两点：(1)同一直线的斜率处处相等。例如，同一直线上的任意三点A、B、C，则kAB=kBC=kAC。(2)平行线的斜率相等。如果直线AB平行直线CD,则kAB=kCD。

三、利用斜率原理求解的基本步骤

为了便于比较，现以高等教育出版社2005年出版的《财务管理学》P57对贴现率的求解为例：现在向银行存入2000元，要想4年后能得到本利和3000元，存款利率应有多高？

通过审题，可以知道该题必须使用复利系数，但i为未知，因此需要应用插值法。利用斜率原理求解步骤如下：

1.计算系数

利用复利终值计算方法可得到：3000=2000×FVIFi,4,因此，系数FVIFi,4=3000÷2000=1.5

2.绘制函数图像

论f（i）=FVIFi,4=(1+i)4。利用高等数学知识可知，该函数是典型的幂函数，抛物线型，经过点（0，1）。由于i≥0，f（i）≥0，所以函数图像在第一象限，单调递增。如图所示。

图像绘出后，把计算出来的系数值在图上标出，作为A点，坐标为（i,1.5）。绘制图像时，描绘出函数的单调性、凸凹性、经过的特殊点及在哪个象限即可，图像可以不必非常精确。熟练该方法后，甚至可以不绘制图像，心里清楚即可。

3.利用斜率原理求解

为了使用斜率原理，必须在函数图像上再找两个点B和C，当B点和C点非常靠

近A点时，A、B、C三点近似在一条直线上，即斜率kAB=kBC= kAC。

在寻找B点和C点时，必须同时满足以下条件：其一，B点和C点要非常靠近A点，如果离A点太远，A、B、C三点的斜率相差太大，利用插值法计算出来的结果精确度大大降低；其二，B点、C点的贴现率和系数值必须在复利系数表中能够查到，否则，无法使用插值法。

通过查表，找到B（10%，1.4641）、C（11%，1.5181）两点。

利用kAB=kBC得到：

(1.5-1.4641)/(i-10%)=(1.5181-1.4641)/(11%-10%)

求得i = 10.6648%。

四、结论

利用斜率原理解析插值法能体现以下优点：其一，能够解释课本中的“逐步测试法的测试距离不应过大”，因为距离越大，对于曲线来说，三点的斜率相差越大；其二，当函数的曲度很大时，近似直角三角形相似法和数轴比例推算法都难以解释插值法误差产生的原因，而斜率原理可以解释这一点；其三，用斜率原理解释插值法时，通过函数图像可以明确系数与i或n的关系，便于学生记忆和理解。

参考文献:

[1]郭复初 王庆成主编:财务管理学[M].北京:高等教育出版社，2005，8:57

[2]田笑丰:财务管理教学中插值法的快速理解和掌握[J].会计之友,2008（4）:74～75

[3]关继芳:插补法简解[J].会计之友,2008（6）