格子与面积

例题：图1是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小正方形的面积都是l，则阴影部分的面积是( )

A　6　B　6.5　C　7　D　7.5

此题为某地中考试题，我们先不谈题目的解答，而来聊一聊这个有点古怪的图形。

有这么一类图形，它们是由多边形和一个封闭的网格组成，并且。多边形的所有顶点都在网格的横、纵两组平行线垂直相交的交点上，我们把它们称为格点多边形，图1就属于这类图形。

看到这类图形，我们一般很愿意讨论它里面多边形的面积，原因是什么是后话，暂时先来研究图2这个图形，如果我们要求网格中不规则多边形的面积，最简单的办法就是将它分割成几个简单的、我们比较熟悉的多边形，如三角形、矩形或者梯形等，如图3。

可以看到，即使分割以后，我们仍然不能一下就求出多边形的面积，于是，从人类的求精求简精神出发。我们需要找另一种比较简单的方法来求其面积，为了寻找出一个简单的方法。我们可以先从一些简单的图形着手，为了看得更清楚，我们又作一个技术处理，将格子隐去，留下交点(其本质并没有改变)，看看下列图形(图4)。

我们规定，相邻两个点之间的距离是1，也就是每个小格子是一个面积单位，现在通过分割法一一求出图4中各格点图形的面积(如图5)。

分割后，容易知道，A的面积是2，B的面积是3.5，C的面积是5，D的面积是6.5，E的面积是8，根据格点多边形的定义，接下来我们考察每个图形周界上的格点数，易看出，A是4。B是5，C是6。D是7，E是8，然后，再考察它们分别包围的点数，A是1，B是2，c是3，D是4，E是5，数据这样摆着，难以观察出规律，我们制作一个表格来细细观察：

如果你的数感不错的话，仔细研究这些数据可以发现，这几个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1，再加上图形内包含的格点数，如果用，s表示面积，用N表示图形内的格点数，用￡表示周界上的格点数，再修改上表，它们之间的关系便可以看得更清楚。

于是，通过不完全归纳，我们拟定一个命题：若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积S=N+L/2-1。

这个命题被一个叫毕克的数学家发现并证明了，所以叫做毕克定理，有了它，我们计算格点多边形的面积就简单多了，我们回过头来求图2的面积，很快有S=N+L/2-1=21+9/2-1=24.5(面积单位)，文章开头的中考题，利用这种方法也能迎刃而解了。

这里有两点要说的，第一，上面讲述的定理，从发现到证明的过程，是一个朴素的研究数学问题的过程，人类求简、求快、求准、求美的思想在这个过程中都有体现，这也告诉老师们，可以这样做数学研究，当然，个中的思想一下子也扯不清，要靠老师们慢慢体会，只点到为止。

第二点也比较重要。是前面遗留的问题――为什么要在由小正方形组成的网格里讨论多边形面积呢?这是因为，我们通常以长度单位前面加“平方”二字来表示面积单位，如平方厘米、平方米等，这意味着我们是用正方形作为单位来度量面积的，而一个面积单位就是一个单位正方形的大小，如图6，三角形ABC画在如图的方格纸上，问三角NABC的面积相当于多少个小正方形的面积?

此时的小正方形就是我们度量三角形ABC的单位正方形，若以这小正方形的边长为一长度单位，则三角形ABC的底为6个单位，高为4个单位，然后通过三角形面积=底×高÷2这一人所皆知的公式可算得三角形ABC的面积为12面积单位，即为12个小正方形的大小。

但是，我用这个题目考学生，却发现只有32％的初二学生给出了正确的回答，甚至在有些回答正确的学生中，发现还有数格子和拼拼凑凑的痕迹，从上述学生的表现可以看出他们非常浅薄的面积概念，在学生看来，度量面积就是先对几何图形的有关线段，如长方形的边、三角形的底边和高、圆的半径等进行度量，测定它们各为多少长度单位后，再通过计算公式得出多少面积单位，而很少有学生知道，平面图形的面积通常是用正方形来度量的，这面积单位就是指单位正方形，更确切地说，平面图形的面积是用平行于坐标轴的一组直线所成的直线网来度量，而正方形相当于这直线网中的刻度，要使度量出的面积精确，和以刻度更精细的尺来测得更精确的长度一样，就得对直线网进行加细，而计算公式只是在特殊图形下度量面积的一条捷径，以代替数格子，其实，老教材上曾明确指出：多边形的面积，就是它所围的平面部分的大小。大小是由数来表示的，要表示一个多边形的面积，和度量线段时一样，必须取一个单位。然后看这个多边形所围的平面部分是单位的多少倍，这个倍数就是面积的数值，面积的单位，通常是取边长为单位长度的正方形，然而，由于学生在念小学时就能用公式计算长方形、三角形的面积，教师没有重视这个本质上的意义，从而使他们不能把通过计算公式而得的面积与这种面积概念统一起来，当给出的三角形具有底边和高的长度时。他们就用公式计算出面积；当给出的三角形是在方格纸上，他们只好通过数格子，再拼拼凑凑来估计它的面积，因为他们不敢保证。由三角形面积-底×高÷2这个公式计算出的数值能代表某一正方形的倍数，这些，应该引起中小学老师的注意。