导数在经济学中“边际”和“弹性”方面的应用

摘 要： 导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。

关键词： 导数 边际 弹性

随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部分。导数是微积分中一个重要概念，它是函数关于自变量的变化率。在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题和弹性问题。下面笔者将导数在这两方面的应用介绍如下：

一、边际问题

在经济学中，所谓“边际”指的是当x的改变量x0时，y的相应改变量y与x比值 的变化。即当x在某一给定值附近有微小变化时y的瞬时变化，也即=y′（x）则称导数y′（x）是y（x）的边际函数。随着x、y含义不同，边际函数的含义也不一样，一般分为两大类：边际成本和边际收益。

1.边际成本

设生产某产品的总成本函数为C=C（q），其中q为产量，则边际成本MC=C′（q）。其经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位产品所增加的总成本为C′（q）。

在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算。

例1：某种产品的总成本C（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式为：

C=C（q）=100+4q-0.2q +0.01q ，

求生产水平为q=10（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合算？

解：当q=10时的总成本为

C（10）=100+4×10-0.2×10 +0.01×10 =130（万元），

平均成本为 =130÷10=13元/件，

边际成本MC| =C′（q）| =（4-0.4q+0.03q）| =3元/件。

因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品，总成本增加3元，比当前的平均成本13元低，从降低成本角度看，应该继续提高产量。

由此例可知，若设p为某产品销售单价，当C′（q ）＜p时，意味着扩大生产量是盈利的；而当C′（q ）＞p时，扩大生产量反而亏损。因此，企业的经营者应及时准确了解边际成本的变化情况，并作出正确的科学决策（而不是盲目地一味扩大生产量），从而使企业获得较佳效益。

2.边际收益

边际收益指稍微增加其种经济活动所带来的利益的增量。实际上就是收益函数瞬时变化率，从数学的角度来看，它是一个导数问题。

设收益函数R=R（q），其中q为产量，则边际收益MP=R′（q）。其经济含义是：在销售量为q个单位的基础上，厂商增加一个单位产品q，销售所获得的总收入的增量。

当R′（q）＞0时，总收入将增加R′（q）;

当R′（q）＜0时，总收入将减少R′（q）;

当R′（q）=0时，总收入不改变。

二、弹性问题

在经济分析中，会经常用到弹性分析法，弹性是一个十分有用的概念。一般地说，弹性描述的是因变量对自变量的变化的反应程度，具体的说，也就是要计算自变量变化1个百分比，因变量要变化几个百分比，即用弹性系数来表示：

弹性系数= 。

我们以需求价格弹性为例介绍，其他的类似可得。

1.需求价格弹性

需求价格弹性表示需求量对价格的反应程度，其弹性系数为：

E =

= = ，

其中Q为某种商品的市场需求量，P为价格。

上式计算出的弹性系数代表两点间的一段弹性，故叫弧弹性系数。若P0时，由此推出需求曲线任一点弹性系数。即点弹性系数

E= = ・ =Q′ 。

根据需求法则，需求量与价格成反向变动。其经济意义为：当P=P ，若P再增加或减少1%，Q将减少（增加）E%，它反映自变量变化时函数变化的灵敏度。它对市场分析预测和定价策略具有重要参考价值。

不同商品的需求弹性相差甚远，按照弹性值的大小，作以下划分：

①|E|＞1，称为需求富于弹性;

②|E|=1，称为单元弹性;

③0＜|E|＜1，称为需求缺乏弹性;

④|E|=0，称为需求完全缺乏弹性;

⑤|E|∞，称需求量完全富于弹性。

最后两种是极端情况，需求完全缺乏弹性的商品无论价格高低，需求量都不会改变；而需求完全富于弹性的商品价格在现行水平上稍微提高一点点，需求会立即下降至零。在现实生活中，极端情况很少见。下面举一个例子来说明需求价格弹性的经济意义。

例2：假设某市场上A、B两公司是生产同种有差异产品的竟争者，且市场上对A、B两公司产品现有需求量已达到饱和，市场上A公司的需求函数为Q =400- P ，B公司的需求函数为Q =300- P ，两公司的销售价格分别为P =400元，P =500元，①求A、B两公司的需求价格弹性并说明其经济意义。②B公司的价格降价到400元时，这种行为选择合理吗？此时，A公司由销售量减少而损失多少？

解：①由，P =400，P =500，得

Q =400- ×400=200，

Q =300- ×500=200，

从而市场上对该产品的饱和需求量为Q +Q =200+200=400。

A公司的需求价格弹性E = ・ =- ・ =-1。

由于|E |=1，所以当P =400时，该商品是单元弹性，此时价格上涨1%，将引起需求量下降1%。

B公司的需求价格弹性E = ・ =- ・ =- ，

由于|E |= ＜1，所以当P =500时，该商品是需求缺乏弹性，此时价格上涨1%，需求量下降 %。

②B公司在P =500时需求价格弹性|E |= ＜1，即需求缺乏弹性，降价会减少销售收入。

因为降价前，B公司的销售收入R =500×200=100000，降价后，当P =400时，Q =300- ×400=220，则B公司的销售收入R =400×220=88000。

显然R ＜R ，B公司降价减少了它的销售收入，所以对于B公司追求销售收入最大化的目标而言，它降低在经济上是不合理的。

另外，降低前A公司的销售收入R =400×200=80000，降价后，由于该产品的饱和需求为400，所以Q =180，则A公司的销售收入R =400×180=72000，损失80000-72000=8000元。

三、结语

对于企业来说，进行边际分析和弹性分析是非常重要的，企业如果离开边际分析而盲目生产，就会造成资源的巨大浪费；企业如果离开需求价格弹性分析，就不可能达到利润最大化的目标。导数作为边际分析和弹性分析的工具，可以给决策者提供客观、精确的数据，从而作出合理的决策。

参考文献：

［1］黄亚钧，郁义鸿.微观经济学［M］.高等教育出版社，2000.

［2］中国人民大学数学教研室.微观经济数学应用基础（一）［M］.中国人民大学出版社，1982.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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