方法教学是思维发散的催化剂

摘 要： 方法教学是分析数学问题的形式结构、暴露探究思维过程的教学。 思维的发散性，是指一种不依常规寻求变异，从多角度、多方向、多层次去思考问题的思维形式。教学中从不同角度寻求解题的切入点；从不同知识点、不同知识层次寻找解题的入口；以一题多解，一题多变为追求目标；以渗透数学思想为教学的出发点；从条件、结论的等价命题考查问题；在演示“碰壁”的过程中培养思维的发散性。

关键词： 方法教学 思维教学 思维的发散性

方法教学应是分析数学问题的形式结构、暴露探究思维过程的教学。方法教学的中心是思维教学，它能激发学生浓厚的学习兴趣，调动学生的积极性，提高教学效果，而思维的发散性又是思维教学的重要组成部分。我结合自己在数学教学中的体会谈谈培养学生思维发散性的几点做法。

一、利用不同角度寻求切入点，培养思维的发散性

观察题目是思维启动的开始，观察能导致发现。解数学题也有个从观察到发现的过程，只有对问题中的数、式、形作认真的观察，才有可能较快地获得解题的切入点。

例1.在正三棱柱ABC-ABC中，若ABBC，求证：ABCA.

法1：若取AB、BB、BC的中点D、E、F，再取BA、AA、AC的中点D、E、F，易证DEF≌DEF（SSS），故有∠DEF=90°，知∠DEF=90°，从而ABCA.

法2：如图1，补一个正三棱柱，则AD∥BC，易证AB平面ACD，ABCA.

法3：如图2，取CD=AC，补长方形CDDC，则AC∥CD，由BC=AC=CD知ABBD，再有三垂线定理知ABBD，从而AB平面BCD，ABCD，从而ABCA.

点评：课堂教学中，教师从不同角度启发学生思维，可活跃课堂气氛，同时也可开阔学生的解题思路。

二、利用知识层次寻求切入点，培养思维的发散性

现在高考解答题不偏不怪，解答的入口较宽，这就对学生各方面的能力要求较高，对各知识点、各知识层次掌握也要较全面。若教学中对有些问题教师点明各知识点、各知识层次，深入解题，会产生各种思路。

例2.已知复数Z满足式子|Z+-i|=1，求|Z|的最大值.

法1：从几何意义（数形结合）易得|Z|的最大值=|OC|+r=3.

法2：|Z+-i|=1可设Z+-i=cosβ+isinβ.

法3:三角式，令Z=r（cosθ+isinθ），则r-4sin（θ-）+3=0.

法4：不等式，||Z|--i|≤|Z+-i|≤|Z|+|-i|=|Z|+2，||Z|-2|≤1，1≤|Z|≤3.

点评：从不同知识点、知识层次入口解题，不仅能起到全面复习知识的功效，而且能起到对知识点关联的强化，提高分析问题、解决问题的能力。

三、利用多解多变寻求切入点，培养思维的发散性

一题多解训练的最终目标是通过题目的多解训练培养思维的发散性，寻求多种解题方法，并从中比较各种方法的优劣。这种“多解择优”的训练对打破思维定势，克服消极作用有很大的意义。

这里的“一题多解”主要是指在不同的教学阶段解决同一个问题的不同层次的方法。由于这多种解法在不同的层次上，它们往往表现越来越优，因而较高层次的解法可打破前几层次解法形成的思维定势。

例3.已知AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则ACBD，DO=BO.

这个命题证明随着教学内容的扩展，有以下三种不同层次的方法：

法1：（教学“全等三角形判定”后）先证ABD≌ADC（SSS），再由AOB≌AOD（SAS）可得结论。

法2：（学了“等腰三角形性质”后）先证ABC≌ADC得∠1=∠2，再由等腰三角形的性质，结论可证。

法3：（教学“线段垂直平分线性质定理及逆定理”后）直接由条件知A、C两点在BD的中垂线上，因而AC垂直平分BD，从而证得结论。

点评：教学中用多角度思考问题、改变题型等方法能充分拓展学生头脑中的知识，所学的方法深刻化，并得到广泛的应用，思维得到主动、全面的发展。

四、利用数学思想寻求切入点，培养思维的发散性

数学思想方法是数学知识的精髓，现在高考中十分重视并逐步深入考查数学思想方法。在教学中不断渗透数学思想能培养学生思维的发散性。

例4.已知等差数列{a}中，s=100，s=10，求s.

法1：（一般化思想），问题转化成已知s•p=q，s•q=p（p≠q），求s.

由通项公式易得s=-（p+q），s=-110.

法2：（整体思想），由题设知s，s-s，s-s…，s-s，s-s成等差数列，T=（s-s）+…+（s-s）+（s-s）+s=10s+d.

法3：（函数思想）数列是特殊的函数. =×n+（a-）是n的一次函数.

法4：（简单化思想），由数列性质=a+a=a+a=.

点评：在教学过程中有计划、有目的地进行数学思想方法的渗透，使学生在接受知识的同时，也受到数学思想方法的熏陶和启迪，教学效果将有明显提高。

五、利用等价命题寻求切入点，培养思维的发散性

例5.设z是虚数，且w=z+∈R且-1＜w＜2，u=，求证：u是纯虚数.

法1：直接法，设z=a+bi（b≠0），由z+∈R得a+b=1，u==…=-是纯虚数.

法2：u是纯虚数等价于u+=0且u≠0（z≠1）也等价于u是负数.

法3：由u=得z=，而|z|=1，|u-1|=|u+1|，又显然u≠0，故u是纯虚数.

点评：从条件或结论的等价命题出发考查问题，不仅拓宽了学生的知识面，而且使知识得到了更进一步强化，思维得到了深化和发展。

六、利用演示碰壁寻求切入点，培养思维的发散性

课堂上演示“碰壁”，使教师的思维过程充分暴露在学生面前，让学生看到老师是怎样思考的，从尝试“碰壁”中找到“简洁”的解法。

例6.已知，圆x+y=4，点M（3，0），过M作弦AB，求S的最小值.

法1：引进直线AB的倾斜角表示S，运算量可想而知.

法2：O到AB的距离|OH|=3sinα及RtOAH中勾股定理，求半弦长，再表示S，运算略简单些.

法3：S=|OA|=|OB|•sin∠AOB=8sin∠AOB，显然∠AOB=90°时，S=8.

点评：数学课堂教学中，通过演示“碰壁”，选择最佳途径和方法解决问题，使学生能在旺盛的求知欲驱使下，主动积极地去探索、去创新，使良好的思维品质得到进一步锻炼。

总之，在数学教学中，应以培养学生的数学素质为出发点，教师从不同角度启发学生思维，可活跃课堂气氛，同时也开阔学生的解题思路。从不同知识点、知识层次入口解题，能起到全面复习知识的功效，而且能起到对知识点关联的强化，提高分析问题、解决问题的能力。用多角度思考问题、改变题型等方法能充分拓展学生头脑中的知识，使所学的方法深刻化，并得到广泛的应用，思维得到主动、全面的发展。有计划、有目的地进行数学思想方法的渗透，使学生在接受知识的同时，也受到数学思想方法的熏陶和启迪，教学效果将有明显的提高。从条件或结论的等价命题出发考查问题，不仅拓宽了学生的知识面，而且使知识得到了更进一步强化，思维得到了深化和发展。通过演示“碰壁”，选择最佳途径和方法解决问题，使学生能在旺盛的求知欲驱使下，主动积极地去探索、去创新，使良好的思维品质得到进一步锻炼。一句话：以方法教学为中心的课堂教学，能较好地培养学生思维的发散性。

参考文献：

［1］张乃达.数学思维教育学.江苏教育出版社，1990.

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

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