基于人力资本的经济增长模型的网络效应

摘要：我们重新探究了最近推出的主体模型[ACS 11，99（2008）]（该模型认为经济增长是教育（人力资本的形成）和创新的结果），并且探讨了主体的社交网络对主体决定接受教育和产生新的想法的影响。我们考虑了规则和随机网络。并且将调查结果与平均场（代表性主体）模型的预测结果进行了比较。

关键词：经济物理学 基于主体的模型 人力资本 复杂网络

1 概述

最近的宏观经济增长理论模型都强调了经济增长的最终源头。在这些所谓的“内生经济增长”模型中，经济的长期增长率依赖于对经济的一些内部特征进行描述的一组参数。这些特征可能与某种偏爱（例如未来消费的相对重要性）、一些技术限制（例如总量生产函数的形状）、人口统计因素、经济开放程度、教育机构的质量、以及（最后但同样重要的是）产生并且采用创新技术的能力有关，而产生并且采用创新技术的能力通常与教育、研究和开发活动有关。

在经济学文献中，有很大一部分基于主体的模型都与创新和扩散过程有关（[1]-[5]）。其中有些模型从演化经济学的角度来看待经济增长，例如纳尔逊和温特的开创性著作[6]。后者强调了一些与微观经济技术变革和宏观经济增长方式之间的建模一致性有关的新古典经济学理论的缺点。演化经济学方法进而寻求将微观和整体状况成功地组合在一起，通常都采用计算机仿真建模方法。在与经济增长模型有关的各种方法中，阿罗约和圣奥滨[7]的方法，也就是作者在本文中提出的方法，以内生经济增长文献为基础，在演化经济学范畴内进行了一些创新。他们都是信赖基于创意的宏观经济增长的先驱者，他们认为宏观经济增长取决于接受教育的决策、结果之间的相互作用以及主体之间的动态因素，而不是取决于充盈整个经济的通常称之为局部创新过程的那种东西。在他们的内生经济增长模型中，创新或者发明是经济增长的主要引擎。这些创新是非竞争性的，在某种意义上来说，一些人可以使用创新技术，但同时也不会削弱其他人使用这种创新技术的可能性。很容易找到与经济增长相关的一些例子。例如大功率发动机、电力、或者电脑几乎立即就会出现在我们的脑海中。根据琼斯的提法，创意是由技术工人产生的[8]。但是，阿罗约和圣奥滨的模型则采用更加传统的方法来确定劳动力人口中哪些是技术熟练的工人的方法。在他们的基于主体的方法中，个人会受到相互作用或者邻域效应的影响，接受教育的决定不仅取决于经济推理，而且还取决于某种程度的社会制约。正如以后将会变得越来越明晰的那样，整体人口中技术熟练的或者受过教育的人口比重是与经济增长率有关的一个关键因素。

相互作用的主体网络在各种不同的领域的建模中发挥着重要的作用，诸如计算机科学、生物学、生态学、经济和社会学。在这些网络中的一个重要的概念就是两个主体之间的距离。根据具体的情况，可以通过主体之间的相互作用的强度、主体之间的空间距离，或者通过一些其他的能够表明在主体之间存在一种联系的标准来测定距离。基于这个概念，人们创建了一些全局参数来体现这些网络的连接性结构特征。其中的两个参数是聚类系数（CC）和特征路径长度（CPL）或者测地距离。聚类系数测量拥有共同邻居的两个主体之间发生连接的平均概率。特征路径长度是连接每对主体的最短路径的平均长度。这些系数足以将随机连接网络与有序网络以及小世界网络区分开来。在有序网络连接中，主体就像在晶格中一样相互连接在一起，聚类程度很高，特征路径长度也很大。在随机连接网络中，聚类程度和路径长度都很低，而在小世界网络[9]、[10]中，聚类程度可能很高，但路径长度却都处于一个较低的水平。我们从一个规则的结构开始，并且应用了一个随机重新接线程序（插入到规则和随机网络之间），我们发现[9]有一个广阔的结构区间，在该结构区间上其特征路径长度几乎和随机图上的特征路径长度一样小，而聚类系数却远远高于随机情况下的预计值以及小世界网络中获得的数值。创建小世界网络的另一种方法就是在规则晶格中添加少量的随机连接捷径。

在现实的社交网络中存在一个特征路径长度小但聚类程度却非常高的网络，并且其节点连接的分布也不均匀。这种类型的网络的一些其他显著特点包括正相关性（协调组合）以及存在群落结构[11]、[12]。

在本文中，我们使用阿罗约和圣奥滨引入的模型探讨了相互作用的网络[7]。其目的是要澄清[7]的结论在多大程度上依赖于该著作中假定的主体相互作用的简化拓扑结构。我们已经模拟了一些网络的模型，这些模型具有上述的一些特点，也就是规则正方形晶格、经典随机图（ERD″OS-R'enyi）以及小世界网络模型。并且使用类似于平均场近似的方法对模型进行了分析研究。

在下一节中我们将回顾原始模型的定义和结果。在第3节中，我们将展示平均场的结果。第4节将详细描述对随机网络进行的模拟活动，第5节专门讨论各项结果。最后一节详细描述我们得出的结论。

2 阿罗约和圣奥滨模型

在论著[7]引入的模型经济中，有一个由N个个人组成的恒定人口数量（主体），这些主体将经历两个时间段，每一个个人在他人生的第一阶段都是一个初级工人，并在他人生的第二个阶段成为一个高级工人。虽然会有世代重叠，但我们还可以进一步假设在任何时间t上都有N/2个初级工人和N/2个高级工人。主体要么是熟练的工人，要么是非熟练的工人；一个非熟练的初级工人是非熟练劳动力的一部分，而一个熟练的初级工人只是一个会延迟加入熟练的劳动力队伍的学生，并且只有在他成为一名（熟练的）高级工人之后才会成为（熟练的）劳动力的一部分。非熟练的初级工人以后将成为非熟练的高级工人。

我们分别用Js（t）、Ju（t）、Ss（t）和Su（t）来表示一个熟练的初级工人、非熟练的初级工人、熟练的高级工人和非熟练的高级工人的总数，这样我们就可以得到：

每个个人都生活在空间中的固定位置上-在论著[7]中用带有周期性边界条件的一维规则晶格来表示。然后我们就可以用一个“微观”变量σi来代表主体的状态，σi的数值为以下四个数值中的一个数值：σi=0（熟练的初级工人），σi=1（非熟练的初级工人），σi=2（熟练的高级工人）和σi=3（非熟练的高级工人）。

在固定的间隔时间（周期）所有主体的状态都按照确定性规则同时升级。初级状态的主体会变成相应的高级状态（02，13）；根据“决策规则”的结果，一个高级状态的主体被一个熟练的或者不熟练的初级工人代替。一个初级主体做出接受教育的决定不仅是在模仿他的邻居（邻居效应），而且也会受到外部信息的影响（与熟练和非熟练工人的相对工资有关的信息）。根据模型[7]，如果在他所在的居住区内熟练工人主体占加权多数，则一个“新生”的主体 i 将会成为一名学生。更确切地说，在（6）式中，ws（wu）表示熟练（不熟练）工人的工资，而α′则是一个外部参数，表示由于贴现率而体现出来的对教育和校正的偏向[13]。如果α′的数值较大，则可以代表对教育的正偏向和/或未来的价值会更低。如果达不到条件（5），则主体i会变成一个非熟练的生产

在模型经济中，熟练（脑力）和非熟练（体力）工人具有截然不同的作用：脑力劳动者产生想法，而体力劳动者使用现有的想法来生产最终产品。如果用A（t）表示现有的想法存量，则最终的生产函数Y（t）可以写成：

在上式中，dij表示熟练的高级工人i和j之间的距离。当γ>0时，如果熟练的工人之间彼此相互接近，则（8）式的第二个阶段将有利于产生大量的想法，因此，γ（≥0）被称为团队效应参数。参数δ与熟练劳动力的边际生产率有关。

总收入Y由分配的工资构成，也分为非熟练劳动力和熟练劳动力两部分，Y（t）=Yu（t）+Ys（t）。每类工人所占的份额假定是由一个社会公约造成的[14]，可以用下式表示：

产生的个人工资无论什么时候，在一个新的主体在做出与教育有关的选择的时候，他都会考虑相对工资wws/wu的当前值（公式5）。请注意，在没有团队效应的时候（γ=0），

因此，存在大量的非熟练工人是教育的一种促进剂。

从公式（7）-（12）可以很容易地看出上文所述的动态因素有两个微不足道的吸收状态：U=0和Ss=0。前一种情况意味着由于过度教育而造成的一种经济崩溃（Y=0）- 没有体力劳动者-并且可以通过对方程式（9）和（10）进行修正来避免出现这种情况[7]。当Ss=0时，造成的结果其实不太严重，在这种情况下，经济会停滞不前（ΔY=ΔA= 0），这种情况通常被称为贫困陷阱。这种系统的渐近状态取决于参数值和主体的初始配置。在它还没有崩溃到吸收状态的时候，有限的系统可能会达到一个重要的固定点，熟练工人和非熟练工人会达到恒定的数量。更多的时候，渐近状态具有一个显著的特征，那就是非熟练工人的数量比较固定，而熟练工人的数量则在两个数值之间波动- 请参阅图1（a）。这是某些人为的初级升级到高级的规则造成的后果[15]。不过，可能有人会说恰当的时间单位应是一代（等于两个时期）并且会认为各代的观测值都是恒定的状态是一种“稳定状态”。

公式[7]产生了一种初始状态，熟练工人和非熟练工人的比例是预先分配好的，并且随机放置在一个人口数量N上。在确定邻居的大小（方程式4）和外生参数值的时候，考虑了基线和另外几种方案。在每一种情况下，都重复使用了方程式（5）-（12），直到达到“固定状态”。要达到其他的初始状态，就要重复操作这个过程。对不同领域内的接受过教育的和未接受过教育的主体分别进行了观察，特别是在考虑了团队效应的时候-参见图2。团队效应也会造成较高的经济增长和资格，通常还会造成熟练工人的相对工资较低。我们发现稳定状态取决于脑力劳动者的初始数量，如果受过教育的主体的集中度较低，则会导致较低的经济增长率和较低的熟练工人比例。

3 平均场（代表性主体）方法

在上述模型中，经济的演变过程是由熟练工人和非熟练工人的总人数直接确定的（以及如果要考虑到团队效应，还由他们的相对位置决定）。四种类型的主体的随机初始位置是这个模型的随机性的唯一源头，因为对于主体在空间内的特定分布来说，决定（学习或者不学习）的决策是可以预见的。

在平均场近似方法中，我们忽略了微观变量的波动，并且用一个具有统一的平均场的单个微观变量的相互作用来替代各种微观变量的相互作用的详细形式，而这个统一的平均场依赖于系统的状态。在目前的情况下，忽略局部邻域之间的差异会造成两个微不足道的结果中的一种结果，“全部受过教育”或者“全部没有受过教育”。然而，在平均场的框架内，我们可以考虑一个需要随机地决定是否要接受教育的单个代表性主体，其相对概率取决于当时的熟练工人和非熟练工人的总数比例，就可以得到一个相关的重要模型。在这个平均场模型内（MF），初始条件（或者邻域）以及概率决策是统一的，而不像原始模型那样初始条件和确定性决策都是随机的。更具体地说，根据我们的设置

U*≤N的要求对对参数值设置限制：λ≥1/N。非熟练工人的固定数量与N（方程式（19））无关这一事实显然是平均场近似方法的一个虚假的结果！但是，其他观测值的预测结果都与规则晶格的模拟结果相差不大（见表2），这表明，在没有团队效应的情况下，除了稳态增长率依赖于初始值之外，论著[7]引入的模型与平均场模型非常接近。

4 复杂网络的模拟

论著[7]中使用的环形拓扑结构显然是主体之间社会相互作用的一种简化描述。另一方面，平均场方法假定底层网络是一个完全图，在该图中每一个人都会受到所有其他人的影响，这只是一个适合均匀混合的人群的一种较好的近似方法。在本节中，我们将展示对更加真实的社交网络进行的模型模拟。

正如在第2节中所述的那样，主体生活在一个网络的节点上，我们将这个网络称之为影响网络，因为一个“新生的”主体在做出与教育有关的决定的时候会受到这个网络上他的邻居的影响。如果还要考虑团队的影响（参见方程式（8）），如果每对熟练工人之间的“距离”很小，则产生想法的能力会得到增强。这个距离可以是一个规则晶格上的欧几里德距离或者是沿着随机网络连接的最短路径。我们甚至可以考虑在高级熟练工人主体之间存在一个合作网络，这个合作网络不同于底层影响网络。以下列情况为例，有关教育的决定都是以家庭/当地邻居为基础而确定的，而脑力劳动者则通过电子邮件或者间接地通过彼此都认识的熟人来与遥远的城镇上的同事进行合作。对这种情况进行建模时，可以采用正方形晶格（邻域的大小为Z=4或者z=8）作为影响网络，再加上一个小世界作为合作网络。

规则晶格

我们对具有周期性边界条件和相同数量的邻居的环形和正方形晶格的结果进行了比较（z=4或者z=8）。

随机网络

经典随机图（CRG）

在每次运行时，都通过随机图过程生成一个具有N个顶点和L=NZ/2条边的连接图：随机选定的每一对顶点之间由一条边连接，并且一直重复这个过程，直到达到预先确定的边数量L（不考虑带有自循环或多条边的图）。

小世界网络（SW）

选择一个环型或正方形晶格为母晶格，在随机选择的节点之间增加捷径连接，底层晶格的每个规则连接的概率P较小（L'= LP捷径连接）。我们已经考虑了以下的情况：i）只有影响网络是小世界网络（其他的随机连接只与教育决策有关），ii）只有合作网络是小世界网络（只有高级熟练主体可以得到其他的随机连接）以及iii）这两个网络都是小世界网络。每隔半代时间就会重复增加随机连接，所以一个高级工人主体可以与他所有的网络保持定期接触，而一个初级工人却只能建立新的捷径连接，一个新生的初级工人无法继承随机链接。

在我们的模拟中，我们使用的主体N=400，并且选择了能够产生合理的固定增长率的参数值（我们证实参数值的变化不会产生本质上不同的结论）。我们还使用平均场方程式（17）- （21）进行了校准，假定在为期25年的半代人时间内年增长率为3%（或者ΔcommentMFY/Y= 1.0938）并且将U*固定为U*=N/2。这样我们就可以得到基线参数值：δ=0.011，α'=0.45（λ=0.005），γ=0。要研究团队效应（论著[7]内的情况5），我们取γ=0.05。

开始模拟的时候，将U（0）=N/2个非熟练工人随机放置在模拟节点上。对于每一组参数，取超过1000个样本的平均值（不考虑崩溃到吸收状态的样本）。图1显示了在（a）环形和（b）小世界网络（情况2）的情况下在一次运行时熟练工人和非熟练工人总体的典型演变，还显示了多次运行后的各自的平均值，以及团队效应参数。在第2节中所讨论的熟练高级工人的数量在第二阶段的振荡行为会造成生产总值增长速度的同步振荡，但是振荡幅度却相当小（大约等于δ=0.011乘以熟练工人的幅度）。图3展示了一个在环形网络的基础上建立的小世界网络的初始和最终网络配置的示意图，在该图中可以很明显地看到域形成的过程。对于在模拟中使用的参数值，弛豫时间在大约10至300之间变化（当影响网络是一个带有捷径连接的小世界网络时，弛豫时间更短）。对于所有类型的网络，不管有没有团队效应，其整体画面从性质上来讲都是相似的。观测值的“稳定状态”数值的模拟结果都列在表1和表2内。

图1对于（a）环形网络Z=6个邻居以及（b）在环形网络的基础上通过增加概率为P=0.03情况ii的随机链接而建立的小世界网络，非熟练工人数量的演变U（t）（上部曲线）和熟练工人数量的演变Ss（t）（下部曲线）；以及团队效应参数（见正文）。符号（和颜色线）代表不同的运行，（黑色）实线是1000次运行的平均值。

图2 作为时间的函数，熟练/非熟练主体域之间的平均层数（分区数）。环形网络Z=6个邻居，基线参数（圆圈）和团队效应（十字形）。

图3 初始（左侧）和最终（右侧）网络配置-小世界网络情况i），并且增加概率为P=0.03的随机连接。在每个节点Z=6个规则连接的环形网络上，节点（几乎看不见）代表熟练（黑色）或者非熟练（黄色）的主体，另外还有一些捷径连接和基线参数（见正文）。

5 讨论

我们的模拟确认了[7]中的观点，也就是在这个模型中，从长期来看，较高的增长率与较高的资格（更多的熟练工人和更少的非熟练工人）和按教育程度划分的较强的离析有关。通常这也意味着脑力劳动者的（相对）工资会更少。

从表1和表2我们可以看到对于拥有相同数量的邻居的环形或者正方形晶格来说基线结果是大致相似的，并且对于具有相同平均程度的随机图来说他们之间也没有什么显著的差异。相反，如果影响网络是小世界网络，则资格会明显增加（特别是P值较高的小世界网络）[17]。

在考虑团队效应的时候，随机主体间的连接的效应就是显而易见的，此时会获得高得多的增长率，熟练的工人所占的比例也会更大。由于人们通常发现合作网络是无标度的[18]，我们也进行了一些模拟，在进行此类模拟时高级脑力劳动者之间的联系数量应用了幂律分布（指数为1）。这些并不是真正的无标度网络，因为节点的数量大约为160个左右，但其目的是为了检查是否会发生显著的变化。结果与小世界网络情况iii）P=0.1的结果非常相似，除了增长率较大之外（ΔY/ Y=5.85）。在规则晶格的情况下，二维中的团队效应要比一维中的团队效应强得多（由于正方形晶格聚类效果更强），从而在二维中产生更高的增长率/资格。（更加真实的）二维基体上的离析趋向更强，如分区（域）数量更少所显示的那样-见表2。

我们已经对较大数量的主体进行了多次模拟，获得了从性质上来说基本上相同的行为，但是随着熟练工人的比例同N一起增加，会产生较高的增长率。内生增长理论模型往往显示这种类型的行为，较大的经济体往往会产生较高的生长率[19]。尽管如此，对于大多数现实的经济体来说，N=400还是太小了，所以表1和表2中所列的数值只能被视作是为了进行比较而列出的参考性数值，不能将其视作是绝对值。

6 结论

在本论文中，我们研究了一个设计用来解释经济增长是由一小部分接受过高等教育的人口引入的创新技术而造成的这样一个简单的主体模型[7]。我们通过假设主体间的相互作用发生在更加现实的社交网络类型上对原来的一维模型进行了推广。

一个异构互动网络的影响，从广义上来说，可以概括为会产生一个稳定的状态、具有更高的增长率和资格、并且熟练和非熟练工人之间的离析更严重。正如预期的那样，在考虑团队效应的时候，这些影响会变得更加明显，因为主体之间的平均距离变得更短。

我们还推导和解决了一个相关的平均场模型，该模型能够重现原始模型的一些重要的结果（不包括团队效应）。但是，请注意，平均场近似方法省去了稳态增长率依赖于初始值的事实。此外，通过假设一个异构主体，我们能够重现聚类的形成过程，并且考虑团队效应的贡献。

如果要考虑创建一个更加微观的模型版本，在该模型中异构薪金取决于主体的生产力（以及整体经济状态）将会是一件非常有意思的工作。人为决策规则（5）可能会被主体根据局部场的标志自己进行选择所代替，正如使用二元决策的社会影响模型中通常所做的那样[20]。那么接下来的问题就是如何采用一种从经济上来说非常明智的方法将主体变量与生产和创新联系在一起。

致谢：阿罗约和圣奥滨非常感谢科技基金会（葡萄牙）的支持。PDCT/EGE/60193/2004.T.V.M. FCT项目通过资助项目编号SFRH/BD/23709/2005FCT获得了科技基金会（葡萄牙）的支持。

UECE和Centro de Fisica do Porto获得了科技基金会（Fundac～ao para a Ci^encia e a Tecnologia，葡萄牙）的支持，由ERDF（欧洲地区发展基金）和葡萄牙基金提供资助。

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[13]在[7]的表达式α'=α/β（ρ）中，β（ρ）是折现率ρ的递增函数.

[14]社会公约保证非熟练工人能够挣到社会上如果没有熟练工人时他们能够生产的收入，而熟练工人可以从他们的新想法创造的收入中获得额外的收益.

[15]熟练初级工人的数量采用相同的渐近值，该渐近值每个周期会及时发生改变（条件（2）和（3））.

[16]我们感谢提供澄清性意见的一个审稿人.

[17]需要注意的是小世界网络是在具有z个邻居的常规晶格的基础上通过添加捷径连接而建成的，具有略高的平均度=z（1+P/2）.

[18]M.Newman，科研合作网络的结构，PNAC 98，404（2001）.

[19]C.Jones，增长：是否有规模效应，美国经济评论，美国经济学会，89，139（1999）.

[20]另请参见例如Q Michard和J.-P. Bouchaud，集体舆论位移的理论：从光滑趋势到急剧波动，欧洲物理学杂志，B 47，151（2005）.