“信号与系统”中的二阶线性电路分析方法

【摘要】“信号与系统”课程中的线性系统分析方法可以应用于分析各类实际系统，例如二阶线性电路等。从时域、频域、复频域和状态变量四个角度，总结了二阶线性电路分析方法。为说明四种方法的应用，以电路实例为基础，给出详细的分析步骤。

【关键词】二阶线性电路　时域方法　频域方法　复频域分析方法　状态变量分析方法

【基金项目】本文系“2009年度上海市精品课程”建设项目研究成果。

【中图分类号】TM13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）11-0227-02

一、引言

二阶线性电路是典型的二阶线性系统，可以构成二阶的滤波网络或者选频网络，是“信号与系统”课程的一个重要知识点，也是电路分析课程及其后续课程的重要内容之一。

国内外的“信号与系统”教材中，一般会选择二阶线性电路作为系统时域、频域、复频域和状态变量分析方法的实例[1-5]，具体地包括求解该类系统的冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应等。本文旨在对各类方法进行总结，针对二阶电路实例，运用四种不同方法，给出详细的解决步骤。

二、二阶线性电路的分析方法

二阶线性电路中的常用电路器件包括电容器和电感器，在无冲激电流或冲激电压作用于它们时，有：uc（0+）=uc（0-）和iL（0+）=iL（0-）、以及其伏安关系特性：uc'（0+）=■ic（0+）和iL'（0+）=■uL'（0+），结合电路结构可分析系统特性。

1．时域分析方法

针对二阶线性电路特点，一般地，按照如下步骤从时域分析系统：

·首先利用各器件的伏安关系、各电路定律等确定描述系统的微分方程；

·利用电路知识，确定系统响应信号的两个初始条件r（0+），r'（0+）；

·利用时域方法分析系统，包括求解系统冲激响应、零状态响应、零输入响应和全响应等，可以选择时域经典方法或规范化方法（详细见文献[5]）；

2．频域分析方法

从频域分析二阶电路，有两种思路：

方法1：

·确定描述系统的微分方程；

·利用电路知识，确定系统响应的两个初始条件：r（0-），r'（0-）；

·对微分方程两边做傅里叶变换，应用文献[5]中所述傅里叶变换的因果时域微分性质，求解系统的零输入响应，进而求解系统的零状态响应、全响应和冲激响应等；

方法2：

·利用各电路器件在频域中的伏安关系建立系统频域的电路；

·求解系统频率响应；

·求解系统冲激响应、零状态响应；

·对0时刻前后系统结构不改变的二阶线性电路，直接由频率响应得到系统微分方程，然后再利用方法1中思路求解系统的零输入响应，进而得到全响应。

3．复频域分析方法

在复频域中分析二阶线性电路，其思路与频域方法类似，具体的有：

方法1：

·确定描述系统的微分方程；

·利用电路知识，确定系统响应的两个初始条件：r（0-），r'（0-）；

·对微分方程两边做拉普拉斯变换，求解系统的冲激响应、零输入响应、零状态响应、全响应等；

方法2：

·利用电路知识，确定二阶线性电路系统中电容器和电感器的初始储能：iL（0-），uc（0-），进而判断系统响应的两个初始条件r（0-），r'（0-）；

·利用各电路器件在复频域中的伏安关系建立系统复频域的电路；

·求解系统函数、零输入响应、零状态响应和全响应的复频域表达式；

将上述各式做拉普拉斯逆变换，得到各响应的时域形式。

方法3：

同频域方法中方法2：

·利用各电路器件在复频域中的伏安关系建立系统复频域的电路；

·求解系统函数；

·对0时刻前后结构不变的线性二阶电路系统，由系统函数得到系统的微分方程；

脱离电路分析的思路，直接在复频域求解系统各响应。

4．状态变量分析方法

一般的，在二阶线性电路中选择独立器件的电流和电压，或者磁链和电荷作为状态变量。其具体的分析步骤如下：

·根据电路结构，列写状态变量方程和输出方程，并确定状态变量的初始条件；

·求解状态转移矩阵；

·利用时域或者频域方法求解系统各类响应。

状态变量方法的优势是可同时求解多个物理量，包括非系统响应的其他物理量均可求解。

三、举例

实际中有两类二阶线性电路系统，若电路在0时刻前后仅激励信号改变，而系统本身并不改变，则可根据上述总结的各类方法直接求解。但还有一类二阶线性电路，在0时刻前后的电路结构会发生改变，称为分段线性时不变二阶电路，下面给出该类情况的一个例题，以说明上述方法如何应用。