让学生在数学探究中增长智慧

背景分析：

本课例是金长林老师与谢树光老师的名师工作室围绕本学期“同课异构”教学活动时由温州中学邵达老师所展示的一节探究课。

设计理念：

引入新概念时，把相关的旧概念联系起来，确立信任学生的观念，大胆放手让学生把某种情境用数学方法加以表征；在形成概念时，留给学生充足的思维空间，多角度、全方位地提出有价值的问题，让学生思考；在辨识概念时，鼓励学生质疑。从学生的角度看，学贵有疑是学习进步的标志，也是创新的开始。

教材分析：

本课例是普通高中课程标准教科书（数学）选修2-3第一章《计算原理》中1.2.2组合概念的探究课。以计数问题为主要内容的排列与组合，是当今发展较快的组合数学的最初步的知识，它不仅应用广泛，为学习高等数学的有关分支做准备，而且由于其思想方法的新颖性和独特性，成为发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。

教学目标：

知识与能力：使学生理解组合的意义。深刻理解组合与排列的区别与联系，提高学生抽象思维分析问题的能力。

过程与方法：启发、诱导学生通过分步计数求得排列数公式，从而推导得到组合数公式并掌握，培养学生观察、分析、转化、归纳等逻辑思维能力。

情感、态度、价值观：通过尝试探究教学，调动学生的积极性，使学生完成整个尝试过程，培养学生学习数学的兴趣与热爱科学、献身科学弦、刻苦钻研的精神。

教学实录：

【片断1】

教师：今天很高兴能来永嘉上一节课，其实我也是永嘉人。听说你们三四周前打了一场篮球赛，是吗？我们班级表现的非常的优异。体育老师现在说要从我们班甲、乙、丙3名同学中选出2名参加校篮球队，其中一人选作前锋，一人选作后卫，有多少种不同的选法？

学生：有12种。

教师：12种是吗？那你来说说看12种是怎么事？

学生：3个里面先选出两个，是A23，然后再乘以2，因为是两个人在排。

（学生误认为是A23仅仅是从3个人中选出2个人，并没有排列。这个错误为今天这节课埋下了一个伏笔。因为今天这节课就是要将排列与组合进行区分，它们的主要区别就是“有没有顺序”。如果利用得好，那将是一个绝唱。）

教师追问：好的。谢谢。那么大家有没有不同的意见？（学生们议论纷纷！）

学生：我认为就是A23，不用乘以2。因为这就是排列，先选谁已经算进去了。

教师：管这个之前我们上过课知道它叫做排列。那么大家能不能说说看什么叫做一个排列？

学生：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

教师追问：在刚才这个问题中这两个同学有没有顺序？

学生齐答：有

教师：对，有。实际上刚才已经将他们做为前锋与后卫来算了。所以他们是有顺序。因此我们说排列应该是一个顺序的问题。那好，下面我将刚才这个问题做一下改变：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加校篮球队，有多少种不同的选法？对呀体育老师说了，先选过来再说，先不安排前锋与后卫。

学生：3种。因为我把他们都列出来了：甲乙，甲丙，乙丙。

教师：真的只有3种吗？比如说“乙甲”，这不是又一种吗？

学生齐答（情绪有点激动）：是一样的。与“甲乙”是一样。因为选两个出来是不需要顺序。

教师：很好！这就是今天我们要学习的“组合”。（板书课题）

【片断2】

教师：那么下面请同学们类比排列的定义写出组合的定义。

学生：根据刚才两个问题，要去掉那一个条件，所以定义是“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合”。

教师：从定义的角度去看看有什么联系与区别呢？

学生：一个是先取再排，一个只取不排。

教师：回答的非常好！也就是说排列可以看成先组再排的这样的一个过程。那么我再问一个问题，（我个人觉得应该把“先取再排”写在黑板上，等一下可以水到渠成）

学生：只要两个组合中的元素相同即可。

教师：那么两个排列相同的充要条件是什么？

学生：两个排列中的元素相同且顺序也要相同。

教师：那么你们能不能举一些生活当中组合的例子呢？

学生：比如说一天有八节课。可以从中选取三节课来上，请问有多少种不同的情况？

教师：那你能不能帮我把它变成一个排列的问题呢？

学生：可以把我选过来的三节课安排在三个不同的时间段来上。

教师：对了。排列与组合相比只要加一个条件即可。也就是说组合只要增加一个过程，是排顺序的过程，就变成了排列了。（多次强调这一个条件，为后面概念的生成提供了基础）

[片断3]

师：下面我们再一起来算一道题：

例，有5本不同的书，（1）某人借了三本，共有多少种不同的借法？

（2）甲、乙、丙三人各借一本，共有多少种不同的借法？

（3）甲借一本，乙借两本，共有多少种不同的借法？

（4）某人去借，至少要借一本，共有多少种不同的借法？

教师：那么大家一起来看看第四小题的结果，发现有什么规律呢？（连一个例题中的一小步也不放过，都要进行拓展，发展学生的思维。这就是教学的时机呀。）

学生（思考了许久）：我发现从5本中选2本也可以看做从5本中剩3本，所以结果是一样的。

教师：我们一起将它一般化，也就是从n本中选m本与从n本中选（n―m）本的结果是一样的，这是组合的性质之一。

专家点评：金长林名师在点评中认为邵达老师基本功非常好，在师生交流，语言表达方面等等表现非常好。给我们非常好的示范。此外，金长林名师还谈了三个观点：（一）什么样的师生交流才是真正的交流？那些看起来非常热闹，非常热烈，师生一问一答。很多情况下不是真正的交流。真正的交流应该是有思考的交流，在设计问题背景时应考虑不是简单的是不是，对不对，好不好，要有深层次的交流。备课时，事先预设好学生能不能理解这个问题，一定要精准，留足学生思考问题的时间和空间。（二）例题习题的选取问题。例题选好了，能激发学生学习的欲望。对这节课是锦上添花。本节课要达到什么样的高度，还要考虑到学生的认知水平，学生能学到哪些思考问题的方法。（三）注重细节。细节决定成败。好的细节处理可以是本节课的一个亮点。