揭示背景发现规律统一解法

摘 要：有关二项展开式系数的考查在近几年高考中多次出现，是考试题中重点题型之一，难度较大. 笔者通过对近几年试题的研究，发现给出的解法大都没有涉及问题的本质，没有揭示问题所反映的组合问题的函数背景，因此也就没有领会命题者的意图. 若能透过现象看本质，揭示背景，抓住问题的实质，发现规律，统一解法，常可使问题迎刃而解，触类旁通. 在“函数思想”指导下解决此问题是重要途径之一，抓住其内涵，理清关系，可使问题化难为易，提高学生解题能力，优化课堂教学.

关键词：函数思想；二项式系数；思维创新；优化课堂教学

近几年，有关二项展开式的系数的题目在江苏省高考附加题中多次出现，常常与函数、数列、不等式等结合，主要考查学生分析问题、识别问题、解决问题的能力，难度较大，学生处理起来费时费力. 不过笔者通过对近几年试题的研究，发现众多解法都没有涉及问题的本质，没有揭示问题所反映的组合数的函数背景，因此也没有领会命题者的意图. 本文另辟蹊径，揭示组合问题的函数背景，挖掘它们统一的规律，给出这类问题统一的解法，供读者参考.

[?] 问题另解

[?] 统一解法

无独有偶，笔者发现，与二项式系数有关的求和问题“出镜率”很高，虽然“包装”得不一样，但本质都是反映了可在“函数思想”指导下解决此问题，尽管题型多变，但只要抓住其内涵，理清关系，引导学生从函数的角度研究二项展开式中系数和的性质，阐明之间的内在联系，通过建立适当的函数模型，利用二项展开式定理，进行适当的赋值，便可使问题迎刃而解.

在函数思想指导下将这些内容阐释清楚，题目的分量就沉甸甸的了！对知识的深化效果是不言而喻的，更重要的是在解题中培养了学生思维的层次，提高了学生的解题能力，优化了课堂教学.

[?] 类比推广

二项式定理的应用比较广泛，如整除问题、集合问题、与数列的综合问题等等，它们与二项式定理密切联系，通过类比推广，可以发现它们或多或少地与此类解法存在着联系，可以通过构建合适的函数去解决.

[?] 研究感悟

二项展开式系数的性质说明了C规律，课本上仅仅是从组合数的公式上给予推理论证的. 但笔者认为如若引入函数，从函数的单调性或最值方面论证更具有说服力，进而也提高了学生的思维层次性. 证明展开式中某些项系数的和为定值是二项式定理应用中的重要题型之一，在历年来高考及模拟试题中时常出现. 课本中介绍的基本方法为赋值法，但是学生在处理有关类似问题时想“如法炮制”却很困难，根本原因在于没有深刻理解赋值法的内涵. 引导学生构建函数，从函数求值的角度阐明二者之间的关系，揭示其内涵，往往化难为易，对知识的深化效果是不言而喻的，更重要的是在解题中培养了学生思维的层次性、发散性，参与创新的意识和能力也得到了锻炼.

美国著名数学家哈尔莫斯言道“问题是数学的心脏”，解决问题是数学研究的主要内容. 解题中应摒弃又难又繁的解法，避免思维在低层次之间游走，练就一手“透过现象看本质”的硬本领，抓住问题的本质，冲破思维定式，开创解题新思路，寻找简洁明快的解题方法，充分展现数学的简洁美，同时也能达到精解一题通晓一类的效果.

每年的高考题都集中体现了高考命题专家的智慧，具有很强的代表性和示范性.二项式系数有关的试题丰富多彩，既扑朔迷离，又因其蕴涵了函数思想而赏心悦目. 因此解题教学中，要有意识地启发学生揭示问题的背景，引导他们发现蕴涵于其中的规律，找到最本质的解题方法.