“不空”也“不满”

〔关键词〕 数学教学；一元一次不等式组；分配问题；

解题思路

〔中图分类号〕 G633.62　〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2012）15—0082—02

“一元一次不等式组”学完后，学生对不等关系较明显的实际问题能较容易地列不等式组求解，而对不等关系隐含的“不空”也“不满”的“分配”问题却很难入手找到突破口.下面，笔者就以人教版七年级《数学》（下册）142页的一道习题为例来说明解这类题目的解题思路.

题目：把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人分不到3本.这些书有多少本？学生有多少人？

分析：从表面上看，这道题并没有明显的大于或小于的不等关系，因此许多学生都无从下手.但如果教师引导得法，抓住关键语句进行点拨，已知条件与未知条件之间的不等关系就很容易找出.

思路点拨：此题的关键语句是“每个学生分5本，那么最后一人分不到3本”.仔细分析可知,最后一位学生分到的书本数大于或等于0而小于3，可表示为总书本数与前面学生分到的书本数之差.总书本数与前面学生分到的书本数这两个量都可以用学生的数量来表示，因此可设学生有x人，则总书本数有(3x+8)本，如果前面的每个学生分5本，那么已分5（x-1）本，最后一位学生分得的书本数就可表示为（3x+8)-5(x-1)本.根据“分不到3本”就可列不等式组：0≤（3x+8)-5(x-1)＜3.

解：设学生有x人，则总书本数为(3x+8)本，根据题意得不等式组（3x+8)-5(x-1）≥0 ①，（3x+8)-5(x-1）＜3 ② . 由①得x≤，由②得x>5.

所以，不等式组的解集为5＜x≤.因为学生人数为正整数，所以x可取6，即有6名学生，26本书.

变式一：一群女生住若干宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，则有一间宿舍不满，也不空，问有多少间宿舍？多少名学生？

思路点拨：这道题比上一道题更深了一层：出现关键语句“有一间宿舍不满，也不空”.这就是说最后一间宿舍的人数大于0且小于6.如果设有x间宿舍，每间宿舍住4人，就有4x人已入住，但“剩余19人无房住”，则总人数为(4x+19）人；每间住6人，已住满宿舍的人数为6（x-1)人，则最后一间宿舍住(4x+19）-6（x-1)人，因此有不等式组：(4x+19）-6（x-1)>0，(4x+19）-6（x-1)＜6 .

解得9＜x＜12，x取正整数为10，11，12.则有10间宿舍，59名学生；或有11间宿舍，63名学生；或有12间宿舍，67名学生.

变式二：某旅馆有两种客房，甲种客房每间可安排4位客人入住，乙种客房每间可安排3位客人入住，如果将某班男生都安排到甲种客房，将有一间客房住不满；若都安排到乙种客房，则还有2人没房住，已知该旅馆两种客房的数量相等，求该班男生人数.

思路点拨：这道题从表面上看比前面两道题多了一个障碍，出现了甲、乙两种客房，但若稍加分析“已知该旅馆两种客房的数量相等”这一条件，便“柳暗花明”：无论住甲种客房，还是乙种客房，两种客房的数量是一样的.因此，如果设甲种客房有x间，那么乙种客房也有x间，这样问题就可转化为：每间客房住4位客人，将有一间客房住不满；每间客房住3位客人，将有2人没房住的问题了.

解：设甲种客房有x间，则该班男生人数为（3x+2）人，根据题意得不等式组：

（3x+2）-4（x-1)>0 ① ，（3x+2）-4（x-1)＜4 ② .

由①得x＜6，由②得x>2.

所以，不等式组的解集为2＜x＜6.因为房间数为正整数，所以x可取3，4，5.

当x=3时，3x+2=11；当x=4时，3x+2=14；当x=5时，3x+2=17.

变式三：将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放，若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放。那么至少有多少只鸡，多少个笼？（“缙云杯”初中数学邀请赛试题）

思路点拨：这道题的关键语句是：“若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放”.仔细分析此语句可知，除一笼“无鸡可放”外，其余的笼里都放了鸡，但其中有一个笼可能未放满，即小于或等于5只.设有x个笼，则有鸡（4x+1）只，除一笼“无鸡可放”外，其余（x-1）个笼里都放了鸡，则根据其中（x-1）个笼里有一个笼“可能”未放满这个不等关系可列不等式组： 0＜（4x+1）-5（x-2）≤5.

解此不等式组得：6≤x＜11.

但此题难在题目中有“至少”二字，所以可得至少有6个笼，23只鸡.如果去掉“至少”二字，则鸡笼有6个，7个，8个，9个，10个五种情况，相应的鸡也有23只，29只，33只，37只，41只五种情况.

解：设有x个笼，则有鸡（4x+1）只，则

（4x+1）-5（x-2）≤5 ①，（4x+1）-5（x-2）>0 ②.

解此不等式组得：6≤x＜11.

所以，至少有6个笼，23只鸡.

综上所述，这类题目有一个共同的特点：已知条件中有两个量，其中一个量出现“分配”上的“不空”也“不满”，如上面例子中的“最后一人分不到3本”，“有一间宿舍不满，也不空”，“有一笼无鸡可放”等，求这两个量.我们不妨把这类问题统称为“不空”也“不满”问题.

通过以上几个例子的分析不难看出，教师在引导学生分析这类问题时，关键是引导学生找出隐含的不等关系——“不空”也“不满”的语句，把其中的一个量设为未知数，则另一个量可用含这个未知数的关系式来表示，从而根据“不空”也“不满”的不等关系语句，列出表示“不空”或“不满”的“单位量”与“空”的“单位量”、“满”的“单位量”之间的不等式组，这是解决这类问题的关键，也是行之有效的方法.运用这种方法解题，不但能帮助学生认识和体会数学的转化与分类讨论思想，而且能提高学生的解题能力.