第一积分中值定理在数学物理方程中的应用

【摘 要】积分中值定理在一般的教材中讲述得比较简略，其推广形式几乎没有提及。本文将对第一积分中值定理进行推广和总结，找出积分中值定理在数学物理方程中的应用，希望读者能够通过这篇论文对第一积分中值定理有进一步的认识。

【关键词】第一积分中值定理 推广 应用

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）22-0092-01

一 第一积分中值定理及其推广

定理：若f（x）在[a，b]上连续有界，g（x）在[a，

b]上可积且不变号，则存在一点 ∈[a，b]，使得 f（x）

g（x）dx=f（ ） （x）dx。

推论：若f（x）在[a，b]上连续，则存在一点 ∈[a，

b]，使得 dx=f（ ）（b-a）。

推广：若f（x）在[a，b]上可积且有原函数，g（x）在[a，b]上可积且不变号，则存在一点 ∈[a，b]，使

得 （x）g（x）dx=f（ ） （x）dx。

二 第一积分中值定理在数学物理方程中的应用

1.弦振动方程的推导

在适当的假设条件下，由牛顿第二定律知，弦段（x1，x2）的动量沿u轴的支量在t=t2-t1的时间段内的变化等

于 （ut（x，t2）-ut（x，t1））ρ（x）dx，使这动量的变化等

于作用力的冲量，这作用力是在点x1及点x2的张力T0ux与所有外力的总和，假定这些外力是连续分布的，其密度按单位长度上的载荷计算，记为f（x，t）。因此就得到弦振动方程的

积分形式： ρ

- ，为了得到微分方程，假

设u（x，t）的二阶偏导数存在而且连续，于是对上式分别应用积分中值定理和微分中值定理就得到下面的形式： xt xt，其中x*，x**，x***∈（x1，x2），t*，t**，t***∈（t1，t2），两边消去xt，并求出当x2x1，t2t1时的极限，就得到了弦振动方程的微分方程：Tuxx=ρuu-f（x，t）。

2.热传导方程的推导

在适当的假设下，由福利莱定律知，在一段时间（t1，t2）

内杆的一段（x1，x2）吸收的热量为

。要使（x1，x2）段在（t1，t2）温度变化为

u=u（x，t2）-u（x，t1），必须供给它的热量为

，然而杆的内部也可能产生或消耗热量，设在点x处及t的热源密度为F（x，t），那么在（x1，x2）

段上的热源在（t1，t2）内作用生出的热量为 t）

dxdt。那么热传导方程可由计算某段（x1，x2）在某段时间

（t1，t2）内的热衡消而得到，应用能量守恒定律就可以写出

热传导方程的积分形式：

（x，t）dxdt= 。

为了得到微分形式的热传导方程，假设u（x，t）有连续的导函数和偏导数，利用第一积分中值定理就可以得到：

t+F（x4，t4）x

t= x。

再由微分中值定理得： xt+F

（x4，t4）xt= xt。其中t3，t4，t5

∈（t1，t2），x3，x4，x5∈（x1，x2），这样两边消去xt并

且取x1，x2x，t1，t2t时的极限，就可以得到方程 +

，即热传导方程的微分形式。

第一积分中值定理在微分学中还有许多应用，如在第一类曲线积分的计算公式的推导，化第一类曲面积分为二重积分的推导，以及格林公式的推导中都有积分中值定理的应用。另外，第一积分中值定理在后续课程中也有不少的应用。

参考文献

[1]关若锋.积分中值定理的推广[J].广州大学学报（自然科学版），2004（6）

[2]A.H.吉洪诺夫、A.A.撒马尔斯基.数学物理方程（上册）（黄可欧等译）[M].北京：人民教育出版社，1956