演绎课本习题 提高解题能力

用好课本，充分运用课本中的一些典型例习题，对其进行联想、拓展、举一反三，可以演绎出不少新题好题，让课本成为学生领悟思想方法的“源头活水”，对掌握一类知识间内在联系与灵活运用，对培养学生的发散思维与创新能力，提高解题能力，具有较好的数学教育价值与训练功能．本文通过对一道课本例题的探索与研究，旨在抱砖引玉，引领学生感悟如何借鉴课本习题思考方法，以“不变”应“万变”，高效地提高解题能力.

图1

引例 如图1，ABD，AEC都是等边三形 ，求证：DC＝BE．

解析：由ABD和AEC都是等边三形，可知DA＝BA，CA＝EA，∠DAB＝∠EAC＝60°，从而可证得∠DAC＝∠EAB，进而根据边角边可得DAC≌BAE，所以DC＝BE．

演变１：改变向外作等边三角形为向内作等边三角形．

图2

例1 如图2，ABD，AEC都是等边三形 ，求证：DC＝BE．

解析：由ABD和AEC都是等边三形，可知DA＝BA，CA＝EA，∠DAB＝∠EAC＝60°，从而可证得∠CAD＝∠BAE，进而根据边角边可证DAC≌BAE，所以DC＝BE．

演变２：改变A、B、C三点不共线为在同一条直线上．

例2 如图3，ABD、AEC都是等边三形，点A、B、C在同一条直线上．求证DC＝BE．

此题解法同引例．

图3 图4

例3 如图4，ABD、AEC都是等边三形，点A、B、C在同一条直线上．求证：DC＝BE．

解析：由ABD和AEC都是等边三形，可知DA＝BA，CA＝EA，∠DAB＝∠EAC＝∠AEC＝∠ACE＝60°，可知到D，A，E三点共线，所以可得出DE＝BC，而CE＝EC，因此根据边角边可证DEC≌BCE，所以DC＝BE．

图5

例4 如图5，ABD、AEC都是等边三形，点A、B、C在同一条直线上．求证DC＝BE．

解析：由ABD和AEC都是等边三形，可知DA＝BA，EA＝CA，∠DBA＝∠BDA＝60°，从而可证得DE＝BC，又因为DB＝BD，因此根据边角边可证BDE≌DBC，所以BE＝DC．

演变３：改变ABC为特殊四边形．

图6

例5 如图6，四边形ABCD为平行四边形，分别以BC、CD为边向外作等边BCF、DCE，连接AE，AF，EF．求证：AE＝AF＝EF．

解析：由ABCD可知AB＝CD，AD＝BC．由BCF，DCE是等边，可知DC＝CE＝ED，BC＝CF＝BF．从而可证得ED＝AB＝EC，AD＝BF＝CF．又ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠ABC+∠BCD＝180°．等边BCF，DCE中，∠EDC＝∠ECD＝∠BCF＝∠CBF＝ 60°．从而可证得∠ADE＝∠ABF＝∠ECF．再根据边角边可证ADE≌FBA≌FCE，所以AE＝AF＝EF．

演变４：改变等边三角形为等腰直角三角形．

图7

例６ 如图７，ABD，AEC都是以A为顶点的等腰直三角形．求证DC＝BE．

解析：由ABD，AEC都是以A为顶点的等腰直三角形，可知DA＝BA，EA＝CA，∠DAB＝∠EAC＝90°，从而可证得∠CAD＝∠BAE，进而根据边角边可证DAC≌BAE，所以DC＝BE．

总之，教师应重视对课本习题的延伸和拓展，提高学生观察、分析问题和解题的能力，让学生充分感受数学的美，从而提高学习数学的兴趣，开拓学生的视野，陶冶学生的思想情感，培养学生的创新意识，深化知识结构．