根的判别式的应用

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式是b2-4ac，通常用符号“Δ”来表示?郾 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当 Δ＜0时，方程没有实数根；反之也成立?郾 判别式不仅用来判断一元二次方程根的情况，也可以解决其他数学问题?郾

一、根据一元二次根的情况确定待定字母的值

例1 （2012年广州卷）已知关于x的一元二次方程x2-2■x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 ?郾

解： 方程x2-2■x+k=0有两个相等的实数根，

Δ=（-2■）2-4k=0.

12-4k=0，解得k=3?郾 故填3?郾

温馨小提示：这是判别式的典型应用?郾 我们要熟记判别式值的正负与根的个数之间的关系?郾

二、由根的情况，求参数的取值范围

例2 （2012年德州卷）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是 ?郾

解：当a=0时，该方程是4x=0，有实数解；当a≠0时,原方程是一元二次方程，Δ=［2（a+2）］2-4a2=16a+16，即16a+16≥0，解得a≥-1且a≠0?郾 故填a≥-1?郾

温馨小提示：一元二次方程有实数解，则Δ≥0，对于含有字母系数的方程有实数解，它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，需分类讨论?郾

三、在完全平方式中的应用

例3 （2012年荆门卷）已知：多项式x2-kx+1是一个完全平方式，则反比例函数y=■的解析式为（ ）?郾

A?郾 y=■?摇?摇 B?郾 y=-■

C?郾 y=■或y=-■?摇?摇 D?郾 y=■或y=-■

解：令x2-kx+1=0，因二次三项式是完全平方式，则方程有两个相等的实数根?郾 Δ=k2-4=0， k=±2，把k=±2分别代入y=■得y=■或y=-■?郾 选C?郾

温馨小提示：二次三项式是一个完全平方式，把这个二次三项式看成方程，则它有两个相等的实数根?郾

四、不解方程，判断根的情况

例4 （2012年珠海卷）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0?郾

（1）当m=3时，判断方程的根的情况；

（2）当m=-3时，求方程的根?郾

解：（1）当m=3时，Δ=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，

原方程无实数根.

（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，

即（x-1）（x+3）=0， x-1=0，x+3=0. x1=1，x2=-3?郾

温馨小提示：用一元二次方程根的判别式解题时，要将方程化为一般形式，根据判别式值的符号确定方程根的情况?郾

五、解决几何问题

例5 （2011年淄博卷）已知：?荀ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2-mx+■-■=0的两个实数根?郾

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求菱形的边长；

（2）若AB的长为2，那么?荀ABCD的周长是多少？

解：（1） 四边形ABCD是菱形， AB=AD?郾

Δ=m2-4（■-■）=m2-2m+1=（m-1）2=0?郾 解得m=1?郾

把m=1代入x2-mx+■-■=0，得x2-x+■=0?郾

x1=x2=■?郾 菱形ABCD的边长是■?郾

（2）把AB=2代入x2-mx+■-■=0，得4-2m+■-■=0，

解得m=■?郾

把m=■代入x2-mx+■-■=0，得x2-■x+1=0.

解得x1=2，x2=■?郾 AD=■?郾

?荀ABCD的周长是2（2+■）=5?郾

温馨小提示：几何与一元二次方程相结合的问题，在中考中很常见，判别式往往是解题的突破口?郾 ■