巧用空间向量解决立体几何问题

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）01-0134-01

立体几何是每个省市在高考中的必考题之一，但是，学生在面对这个题目时，很多人都选择了放弃，究其原因，多数学生在面对立体图形时无法在空间中对它准确定位，看不出点、线、面之间的具体关系，更不用说准确的找出线线角，线面角，面面角等，如何解决这个问题？能不能把几何问题代数化？答案是肯定的，可以。

用代数的方法解决立体几何问题其实就是利用空间向量的有关知识来解决立体几何问题。在立体几何中，主要考察的就是平行、垂直、求角及求距离等问题。现将这些问题的向量解决方法归纳如下：

设直线，的方向向量分别为，，平面α，β的法向量分别为，，则有

线线平行

线面平行

面面平行

线线垂直

线面垂直

面面垂直

线线夹角 直线与所成角θ（0≤θ≤） cosθ=

线面夹角 直线与平面α所成角θ（0≤θ≤） sinθ=

面面夹角 平面α，β所成二面角θ（0≤θ≤）cosθ=

点A到平面α的距离（P为α内任一点）

异面直线，间的距离（A，B分别为，上任一点，为直线，的公垂向量）

下面我们来看看空间向量方法是如何完美解决立体几何问题的。

[2012年高考（湖南理18）]如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点。

（Ⅰ）证明：CD平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积。

【分析】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用及几何体体积计算。

解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。设PA=h，则： A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）。

（Ⅰ）=（-4，2，0），=（2，4，0），=（0，0，h）.

因为・=-8+8+0=0，・=0，

所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，

所以CD平面PAE

（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以

cos=cos即=

由（Ⅰ）知，=（-4，2，0），=（0，0，-h）由=（4，0，-h）得=解得h=

又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16，

所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=

利用空间向量解析几何问题是立体几何发展的趋势，而运用向量方法解立体几何问题时，只需要准确建立空间直角坐标系，找出相关点的坐标，运用上述公式，不用怕看不懂图形，你也可以完美的解决立体几何问题了。