特殊化策略在数学选择题中的应用

摘 要： 特殊化策略即视原问题为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原同题解决的策略，是数学解题的重要策略之一[1]。为此，通过几个例题说明特殊化策略在解数学选择题中的具体运用。

关键词： 特殊化策略 数学解题 应用策略

波利亚在“怎样解题表”中提示我们：当不能解决当前的问题时，你可以先解决一个相关的问题，如更特殊的问题，更简单的题……

德国著名数学家希尔伯特曾说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。我们寻找一个答案而未能成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。”可见，特殊化策略是重要的数学解题策略。

运用特殊化方法，一般需遵循以下两条基本原则[2]：

（1）若命题在一般条件下成立，则它必在特殊条件下也成立。

（2）若命题在特殊条件下不成立，则它在一般条件下也必不成立。

在数学选择题中，巧用特殊化策略解题，可以提高解题效率。

下面通过几个例子具体说明特殊化策略解选择题中的具体应用。

1.取特殊值

在一些选择题中，由于答案的唯一性，如果能巧妙地取特殊值，那么就能很快地得出答案。

例1：（2015年江西省小学教师招聘题）若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）.

A.k>■ B.k≥■ C.k>■，且k≠1 D.k≥■，且k≠1

分析：此题相对来说比较简单，一般的方法：只要满足>0，且k≠1即可。我们这里考虑取特殊值的方法，根据题意，k≠1，排除选项A和B，然后比较C、D选项，我们可以知道，C、D选择唯一的区别是k能不能取■，因此只要检验特例■即可。

解：因为（k-1）x■+2x-2=0是一元二次方程，所以k≠1。把k=■代入一元二次方程（k-1）x■+2x-2=0中，可知，当k=■时，方程（k-1）x■+2x-2=0有两个相等的实数根，与题意不符，所以k≠■，故选择C。

评注：本题的特例值是■和1。在数学解题中，-1，0，1等值往往是特殊值。利用特例值解题时，通常需要我们观察选项，从选项中找出特殊值，比如本例中的特殊值是通过观察比较找出来的。

2.取特殊情形（图形）

有些问题，可能引导你用一般化的方法解题，但是如果你能从特殊的情形或图形入手，那么问题可能就变得简单多了。

例2：选择题（2014年江西省小学教师招聘题）：

如图1，在ABC中BD=2DC，AE=BE，已知ABC的面积是18cm■，那么四边形AEDC的面积是（ ）cm■.

A.15 B.12 C.13 D.10

图1

分析：此题给出了三角形的面积及线段比例关系，可以考虑利用线段比例关系找出ABC与EBD的面积关系，又已知ABC的面积从而求出EBD的面积。四边形AEDC的面积就会等于ABC的面积减去EBD的面积，这是一种常规解法。

注意到，所给定的ABC是一个一般的三角形，我们可以根据题意构建出一个特殊的三角形，如图2所示，所构建的三角形为等腰直角三角形。

图2

解：因为ABC的面积是18cm■，所以AB=BC=6cm，又因为BD=2DC，AE=BE，所以BE=3cm，BD=4cm，故EBD的面积为6cm■，所以所求四边形AEDC的面积为18-6=12cm■，答案是B。

评注：本题根据题意构建特殊三角形（等腰直角三角形），能较快求得正确答案。构建特殊图形时应当注意：（1）所构建的特殊图形一定要完全满足题意;（2）所构建的特殊图形应当能尽可能地简化运算。

3.取特殊位置

选择特例，有时需要突破思维常规，考察极端的特例，往往能够收到意想不到的效果[3]。

例3选择题（2014年江西省小学教师招聘题）：

如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠B=∠D=90°，BE垂直AD于E，已知四边形ABCD的面积是8cm■，那么BE的长度是（ ）cm■.

A.2 B.3 C.2■ D.2■

图3

分析：注意到∠B=∠D=90°，所以A、B、C、D四点共圆，AC为圆的直径。如图4，我们建立图形。

图4

由于A、B、C、D四点都在圆上，AC又是半径，我们让D点在弧ADC上运动（通过半径的调整可以控制四边形ABCD的面积为8cm■），角D还是会保持是90°。我们先让D点运动到图5的位置时，可以明显可以看到此时为保证四边形ABCD的面积为8cm■，我们把圆的直径稍微放大了点，而BE的长度应该是不变的。继续让D点运动，当D点运动到图6的位置时（即C、D重合时，也即特殊位置），四边形ABCD变成了等腰直角三角形BAC，由于等腰直角三角形BAC的面积为8cm■，因此BE=2■cm，为所求。

图5

解：如图6，三角形BAC为等腰直角三角形，且面积为8cm■，所以BE=2■cm，故选择C。

图6

评注：本题是利用了特殊化策略解题，根据题意，通过构建新的图形（圆内接四边形），控制不变量（面积等），寻找特殊位置，从而求得结果。

通过以上论述可知，特殊化的解题策略虽没有完整的章法可循，但可得到一些有益的启示：（1）数学选择题中，要特别注意比较各个选项，特殊值往往就是在比较选项的过程中找到的;（2）当遇到不能解决的问题时，可以考虑先找出一种使结论显然成立的情形或更简单的情形，由此获得启示，从而进一步求得问题的解答;（3）应用特殊化的解题策略时，有时需要突破常规思维，考察特殊的位置，这样往往能够很快使问题得到解决。

参考文献：

[1]曾建国.数学解题策略选讲[M].黑龙江：哈尔滨工业大学出版社，2010.

[2]王林全，吴有昌.中学数学解题研究[M].北京：科学出版社，2009.

[3]俞宏毓，郭朋桂.例说特殊化的数学解题策略[J]，高等函授学报（自然科学版），2005.

[4]宋文檀.特殊化方法与数学解题[J].榆林高等专科学校报，2000.

[5]方志伟.谈特殊化与一般化的解题思维方法[J].自贡师范高等专科学校学报，2000（3）.