浅探算术—几何均值不等式在不等式证明中的应用

摘 要：均值不等式是数学中几个经典不等式之一，在生产和生活中具有重要作用，是证明不等式及求解各类最值问题的一个重要依据和方法。其中算术-几何均值不等式应用最为广泛，具有变通灵活性和条件约束性等特点，在不等式证明方面具有不可忽视的作用。本文分别从内容的突破和形式的构造两个方面，探索算术-几何均值不等式在不等式证明中的应用。

关键词：不等式 算术-几何均值不等式 应用

中图分类号：0178 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）05（a）-0165-02

均值不等式是数学中的一个重点内容，由文献[1]知，它是由调和平均数、几何平均数、算术平均数 和平方平均数所联合满足的不等式≤≤≤。“算术-几何平均值不等式”（≤）的应用广泛性已经得到了人们的重视（见[2，3，4]）。研究工作主要集中在函数最值问题，不等式成立问题，但对它在不等式证明中应用的延伸还需进一步深入研究。本文分别从内容的突破和形式的构造两个方面，探索算术-几何均值不等式在不等式证明中的应用。

1 基本算术-几何均值不等式

如果、，那么≥（当且仅当时，“=”成立），这个不等式称为基本“算术-几何”均值不等式，也叫均值定理。深刻理解和掌握此不等式的内容及形式，便能快速找到问题的突破口，从而解决问题。

4 算术-几何均值不等式在积分不等式证明中的应用

命题[5]：若函数在上是正值可积的，且，则≤，应用“算术-几何”均值不等式可推出该命题成立。过程如下：先构造不等式≤，再两边同时积分≤，化简不等式≤1，去分母可得≤

利用算术-几何均值不等式来证明不等式时需要构造不等式的内容及形式，同时需要注意均值不等式的条件“一正二定三相等”，从上面的例子可以看出算术-几何均值不等式在不等式证明中的实用性和重要性。

参考文献

[1] 王学功.著名不等式[M].北京：中国物资出版社，1993：12-15.

[2] 吴善和，石焕南.平均值不等式的推广及应用[J].贵州教育学院学报，2003，14（2）：14-16.

[3] 刘俊先.平均值不等式在数学分析中的应用[J].廊坊师范学院学报：自然科学版，2009，9（1）：14-15.

[4] 冉凯.平均值不等式在数学分析中的应用[J].青海师专学报：自然科学版，1997，1（4）：35-38.

[5] 纪乐刚.数学分析[M].上海：华东师范大学出版社，1993：10-14.