聚焦方差或标准差的求值

方差和标准差都是用来衡量一组数据波动大小的特征量.其中,方差指的是各个数据与这些数据的平均数的差的平方的平均数, 标准差是方差的算术平方根. 若是x, x, …, x的平均数, s2是x, x, …, x的方差,那么

s2=［(x-)2+(x-)2+…+(x-)2］.

在学习中, 经常遇到方差或标准差的求值问题, 现以中考题为例介绍其解法, 供同学们参考.

例1(2008年茂名市)一组数据3、4、5、a、7的平均数是5, 则它的方差是（）.

A. 10 B. 6 C. 5 D. 2

分析：先确定a的值，然后利用方差的计算公式计算方差.

解:依题意,得

5=(3+4+5+a+7).

解之, a=6.

所以s2=［(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2］=2, 应选D.

例2(2007年宿迁市)已知样本x, x, …, x的方差是1, 那么样本2x+3, 2x+3, …, 2x+3的方差是().

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

分析: 为方便起见,设样本x, x, …, x的平均数为, 那么样本2x+3, 2x+3, …, 2x+3的平均数为2+3. 利用方差的计算公式, 由样本x, x, …, x的方差,可以确定样本2x+3, 2x+3,…,2x+3的方差.

解:设样本x, x, …, x的平均数为, 那么样本2x+3, 2x+3,…, 2x+3的平均数为2+3.

因为x, x, …, x的方差是1.

所以［(x-)2+(x-)2+…+(x-)2］=1.

所以(x-)2+(x-)+…+(x-)=10.

所以样本2x+3, 2x+3 ,…, 2x+3的方差

s2=［(2x-2)2+(2x-2)2+…+(2x-2)2］

=［4(x-)2+4(x-)2+…+4(x-)2］

=［4×10］=4， 应选D.

例3(2007年德阳市)某学习小组5位同学参加初中毕业生实验操作考试(满分20分)的平均成绩是16分, 其中三位男生的方差为6(分),两位女生的成绩分别为17分、15分，则这个学习小组5位同学考试分数的标准差为().

A. B. 2 C. D. 6

分析：5位同学实验操作考试的平均成绩已知，且两位学生的考试成绩也已知，要求这个学习小组5位同学考试分数的标准差，可以先求其方差. 为此, 应先要确定这个学习小组三位男生考试的成绩分别是多少. 根据条件, 难以单独地确定它们. 为了顺利地解题, 可以先假定它们分别为x、x、x，从定义入手，看看这个学习小组5位同学考试分数的方差等于什么.

解：设三位男生考试的成绩分别为x、x、x，那么

s2=［(x-16)2+(x-16)2+(x-16)2+(17-16)2+(15-16)2］

＝［(x-16)2+(x-16)2+(x-16)2+2］.

因为x、x、x、17、15的平均数为16,

所以x+x+x=16×5-(17+15)=48.

所以三位男生的平均成绩为48÷3=16.

因为三位男生的方差为6,

所以6=［(x-16)2+(x2-16)2+(x3-16)2］

所以（x-16）2+(x-16)2+(x-16)2=18.

所以s2=［18+2］=4.

所以这个学习小组5位同学考试分数的标准差为2, 应选B.