运用函数思想方法解答问题

我通过多年的教学生活，发现在解决数学问题中很多时候应用函数思想，构造辅助函数来解决，什么是函数思想方法呢？函数思想方法：就是利用运动变化的观点，分析和研究具体问题中数量关系，建立函数关系，运用函数知识，使问题得到解决。这种思想在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题变化的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度打开思路。

函数思想方法，主要体现在根据问题的需要构造辅助函数，从而将问题转化为构造的辅助函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、正负性、函数图像交点的个数、最值等）研究后，得到所需结论。

利用函数思想方法解决问题，需深刻理解，熟练掌握基本函数图像、性质和特征，这是利用函数思想方法解答问题的必备基础。同时要善于观察问题结构特征、揭示内在联系、挖掘隐含特征，产生由此及彼的联想，从而恰当的构造辅助函数、准确利用函数性质，使问题得到圆满解决。在历届高考中，几乎都有借助函数思想来解决问题。下面是我积累用函数思想解决问题的实例。

例1 已知f（x）在R上是增函数，令F（x）=f（1-x）-f（3+x），则F（x）是R上的（ ）

A. 增函数 B. 减函数

C. 先增后减 D. 先减后增

解析用特例法：设f（x）=x 则 F（x）=1-x-（3+x）=-2x-2，显然F（x）在R上为减函数。选B。构造一个符合已知特征函数使较复杂问题迎刃而解。

例2

人教版A版必修一88页。例1：求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数。在这节课利用零点存在性定理得出结论。我在教学中除了交待此方法之外，利用基本初等函数性质画图像，找交点个数来完成的。令f（x）=0移项，lnx=6-2x令Y=lnx，Z=6-2x，在同一坐标系画Y、Z函数图像。因为Y、Z函数单调性大家掌握很容易，画大致图像只有一个交点，所以只有一个零点。

例3 设函数f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值为M，最小值为N，则M+N= .

解：因为f（x）=1+2x+sinxx2+1所以h（x）=f（x）-1=2x+sinxx2+1是奇函数，所以h（x）最大值等于f（x）最大值减1，即M-1.h（x）的最小值等于f（x）的最小值减1，即N-1.由奇函数的对称性可知h（x）最大值加上h（x）的最小值等于零，即M-1+N-1=0。所以M+N=2。

此题在解决过程中，构造函数h（x）=2x+sinxx2+1，利用函数是奇函数的最大值和最小值和为零，将问题解决。

例4 已知实数p q满足lg（log3p）=lg（2-q）+lg（q+1）求P取值范围。本题给出一个等式，并且等式中含有两个变量P、Q这样我们通过适当变形用q表示P，这样就使问题转化为求函数的值域问题。

解：log3p=（2-q）（q+1） p=3（2-q）（q+1） （-1

p（1，394].这道题构造基本函数p=3t，t=（2-q）（q+1）求复合函数值域来解决问题。

例5 已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7那么a1+a2+a3+…+a7=

解：设函数f（x）=（1-2x）7则有f（x）= a0+a1x+a2x2+…+a7x7

因为f（1）=-1 所以a0+a1+a2+a3+…+a7=-1 f（0）=1 a0=1代入上式a1+a2+a3+…+a7=-2

根据本题具体特点，运用函数思想方法，设出函数然后根据问题需要采取特殊值法将问题解决。

例6 设{an}，{bn}满足a1=12 2nan+1=（n+1）an且bn=ln（1+an）+a2n，n∈N*

（1）求a2 ， a3 ， a4并求{an}的通项公式；（2）对一切n∈N*证明2an+2

解析：（1）a2=12，a，3=38，a4=14，由2nan+1=（n+1）an 得 an+1n+1=an2n即数列{ann}是以12为首项12为公比等比数列 ann=12（12）n-1=12n an=n2n

（2） an>0 bn=ln（1+an）+ 12an2>0 要证2an+20）则f′（x）=1x+1-1=-xx+1当x>0时f′（x）

这道题是一道数列问题，数列与对数函数、不等式结合在一起的综合题，解题过程中通过分析ln（1+an）-an

例7 已知函数f（x）=x2+alnx

1）当a=-2时求函数f（x）单调区间和极值；

2）若g（x）=f（x）+2x在[1，+ ∞）上是单调增函数，求实数a取值范围。

解析 1）易知函数f（x）定义域（0，+ ∞） 当a=-2时 f（x）=x2-2lnx f′（x）=2x-2x=2（x+1）（x-1）x 当x变化时f′（x）及f（x）变化情况

f（x）递减区间是（0，1）单调递增区间是（1，+∞）极小值f（1）=1

2）由g（x）= x2+alnx+2x得g′（x）=2x+ax-2x2若在[1，+ ∞）上单调增函数，则g′（x）≥0恒成立，即2x+ax-2x2≥0在[1，+ ∞）上恒成立，

也即a≥2x-2x2在[1，+ ∞）上恒成立

令φ（x）= 2x-2x2也就是求φ（x）的最大值，φ′（x）=-2x2-4x

φ（x）在[1，+ ∞）上为减函数. φ（x）最大值是φ（1）=0

a≥0即a取值范围是[0，+ ∞）

此题在求解a取值范围时，构成函数φ（x）或引入一个函数φ（x）转化为求φ（x）最大值进一步求出a范围。

解决数学问题，很多方面都渗透函数思想以上是我总结几点，以后教学当中细心积累。