点击高考中的二项式问题

二项式定理是多项式乘法的延续，是排列组合的直接应用. 利用二项式定理解决二项展开式的有关问题，是高考的常考题型之一，而且多以选择、填空的形式出现. 本文从近几年多姿多彩的高考试题中，采撷部分试题加以归类解析，旨在帮助同学们熟悉题型特点，掌握解题方法.

一、 （a+b）n （n∈N*）型

例1 （2011年山东卷）若（x-■）6展开式的常数项为60，则常数a的值为 .

解析 题中二项展开式的通项Tr+1=Cr6x6-r（-1）r·（■）rx-2r=Cr6x6-3r（-1）r·（■）r. 令6-3r=0，得r=2. 令C26（■）2=60，解得a=4. 故填4.

例2 （2011年浙江卷）设二项式（x-■）6（a>0）的展开式中x3的系数为A，常数为B，若B=4A，则a的值是 .

解析 由题意知A=C26（-a）2，B=C46（-a）4，又B=4A知4C26（-a）2=C46（-a）4，解得a=±2. a>0， a=2. 故填2.

例3 （2011年陕西卷）（4x-2-x）6（x∈R）展开式中的常数项是（ ）

A. -20 B. -15 C. 15 D. 20

解析 题中二项展开式的通项Tr+1=Cr6（4x）r（-2-x）6-r，即Tr+1=Cr6（-1）6-r23rx-6x， 3rx-6x=0恒成立， r=2， T3=C26（-1）4=15. 故选C.

点评 （a+b）n （n∈N*）型的问题，是二项式高考中最常见的题型，其解法都是先用通项公式写出通项并将其进行整理化简，然后根据题设条件求解.

二、 （a+b）n±（c+d）m（n，m∈N*）型

例4 （2009年湖南卷）在（1+x）3+（1+■）3+（1+■）3的展开式中，x的系数为 .（用数字作答）

解析 x的系数为C13+C23+C33=7. 故填7.

例5 （2010年浙江卷）设n≥2，n∈N，（2x+■）n-（3x+■）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，将|ak|（0≤k≤n）的最小值记为Tn，则T2=0，T3=■-■，T4=0，T5=■-■，…，Tn，…其中Tn= .

解析 |ak|=|Cn-kn 2k·（■）n-k-Cn-kn 3k·（■）n-k|=Ckn|22k-n-32k-n|. 若n为偶数，则当n=2k，即2k-n=0时，|ak|=0，即Tn=0. 若n为奇数，|ak|=Ckn|22k-n-32k-n|，当k=0时，C0n最小，|22k-n-32k-n|最小，故|ak|最小，即Tn=■-■. 综上可知：Tn=0 （n为偶数），■-■ （n为奇数）. 故填0 （n为偶数），■-■ （n为奇数）.

点评 求形如（a+b）n±（c+d）m （n，m∈N*）的展开式中某一项的系数，可分别展开每一个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数. 例4和例5主要考查二项式定理及通项公式以及利用分类讨论的数学思想解决问题.

三、 （a+b）n（c+d）m（n，m∈N*）型

例6 （2011年广东卷）x（x-■）7的展开式中，x4的系数是 .（用数字作答）

解析 x（x-■）7的展开式的通项Tr+1=xCr7·x7-r（-■）r=Cr7（-2）rx8-2r. 令8-2r=4，得r=2， 则x4的系数是C27×4=84. 故填84.

例7 （2010年全国卷Ⅰ）（1+2■）3（1-■）5的展开式中x的系数是（ ）

A. -4 B. -2 C. 2 D. 4

解析 （1+2■）3的通项Tr+1=Cr32rx■，（1-■）5的通项Tk+1=（-1）kCk5x■. 要求展开式中x的系数，只需（1+2■）3中的常数项及一次项系数与（1-■）5中的一次项系数及常数项分别相乘再求和，即1×（-10）+12×1=2. 故选C.

例8 （2011年新课标全国卷）（x+■）（2x-■）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）

A. -40 B. -20 C. 20 D. 40

解析 令x=1，得（1+a）（2-1）5=1+a=2， 则a=1. 因此（x+■）（2x-■）5展开式中的常数项即为（2x-■）5展开式中■的系数与x的系数的和. （2x-■）5展开式的通项Tr+1=Cr5（2x）5-r·（-1）rx-r=Cr525-rx5-2r·（-1）r. 令5-2r=1， 得r=2，因此（2x-■）5展开式中x的系数为C2525-2=80. 令5-2r=-1，得r=3，因此（2x-■）5展开式中■的系数为-C3525-3=-40. 则（x+■）（2x-■）5展开式中的常数项为80-40=40. 故选D.

点评 求形如（a+b）n（c+d）m（n，m∈N*）的展开式中某一项的系数，可分别展开每一个二项式，由多项式乘法可求得所求项的系数.

四、 求展开式中若干项系数的和或差

例9 （2011年安徽卷）设（x-1）21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21，则a10+a11= .

解析 由二项展开式知Tr+1=Cr 21x21-r（-1）r， 则a10+a11=C1121（-1）11+C1021（-1）10 =-C1121+C1021=-C1021+C1021=0. 故填0.

例10 （2009年全国卷Ⅰ）（x-y）10的展开式中，x7y3的系数x3y7的系数之和等于 .

解析 （x-y）10的展开式中含x7y3的项为C3 10·x10-3y3（-1）3=-C3 10x7y3，含x3y7的项为C7 10x10-7y7（-1）7=-C7 10x3y7. 由C3 10=C7 10=120知，x7y3与x3y7的系数之和为-240. 故填-240.

例11 （2009年陕西卷）若（1-2x）2009=a0+a1x+…+a2009x2009（x∈R），则■+■+…+■的值为（ ）

A. 2 B. 0 C. -1 D. -2

解析 依据题目结构特征，可采用赋值法求解. 令x=■，则（1-2×■）2009=a0+■+■+…+■=0，其中a0=1， 则■+■+…+■=-1. 故选C.

点评 求二项展开式中若干项系数的和或差，除运用通项公式外，通常还采用赋值法. 赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的. 它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法. 实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理的应用中尤为明显，巧赋特殊值可减少运算量.