重构教材 优化设计

摘 要：对于函数单调性的研究在高中可分为两个阶段：第一个阶段是在数学《必修1》中，用定义研究函数单调性；第二阶段在《选修2-2》中，用导数研究函数的单调性。利用导数研究函数在高考中占有重要的一席之地，是高中数学教学中大家公认的重要章节，曾多次观摩、听评该课，并在参加讲课比赛中因该课获一等奖，故有一些认识和体会，在此与同仁们分享，共同探究。

关键词：函数教学；高中数学；教学设计

熟悉教材的老师都知道，任教A版必修教材的主编寄语中提到数学是自然的、数学是清楚的、数学是有用的，整套教材力求做到概念引入“自然”、逻辑叙述“清楚”、知识体系“有用”，如何结合学生实际利用好教材，最大限度地发挥教材的实用性，成为老师们教学研究中津津乐道的内容。

一、数学是自然的

人教A版教材中利用高台跳水引出学习内容，让学生观察两个图象（一是高度随时间变化的图象，一是速度随时间变化的图象），发现函数的增减与导函数正负之间的联系。意在借此体现数学在物理和生活中的应用。而现实教学中很少有老师选用这一素材，因为从实际生活中抽象出数学问题并加以研究加大了学生的认知难度，不利于新课的讲授。多数教师会直接利用课本第二个环节引课：结合大量的函数实例，借助图象（几何直观）让学生观察、归纳、得出结论。这样的设计符合学生思维的最近发展区，降低了认知难度。但仅仅利用几个学生已经耳熟能详的函数就想体现导数的价值，大有简单问题复杂化之嫌。

笔者认为好的引课首先应该是自然的、承上启下的、符合学生认知规律的、能吸引学生注意力的。在必修一中学生已经知道了利用基本初等函数的图象可以判断函数的单调性，并在后续拓展中了解了利用“同增异减”可以判断复合函数的单调性，对于其他函数的单调性又该如何判断呢？有统一的方法吗？笔者结合课本，精心设计三个表，基本覆盖了前面所学的导数公式和运算法则，起到巩固前知的作用。三个表的安排又各有深意，表1意在体现利用图象判断函数的单调性，表2意在利用单调函数的加减和复合函数求单调性，对于表3中的函数又该如何求单调性呢？提出问题，通过表格间的联系层层递进地引入新课，通过求前面三个表中各函数导函数大于0的解集，学生在动手实践中亲身体验导函数的正负与原函数单调性间的关系，认识到导数作为研究函数单调性通法的意义所在。这样的引课正如主编寄语中说的：“概念的形成实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。”

二、数学是清楚的

“清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的结论。只要按照数学规则，按部就班地学，循序渐进地想，绝对可以学懂。”教材中例2利用大量的篇幅举例如何利用导数求函数的单调性，甚至在第（3）（4）问中去除部分关键内容让学生填空，力求清楚地表达严谨的解题逻辑格式。但是结合多年的教学经验，笔者认为教材的安排还不够合理、不够清楚。问题不在解题过程，而在例题的选取。4个小例中有3个定义域为R，另一个给出了x的取值范围，例题的讲解中没有涉及求定义域，缺少了这一环节，很容易让学生忽略定义域对单调性的影响，而恰恰这是万万不可的。所以，在教学中整合教材，合理地选取例题是十分有必要的。

三、数学是有用的

教材第24页有一个思考：“请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y=f（x）的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系。”多数老师在处理这一环节时选择忽略，从得到定义后直接进入例题讲解。笔者认为这样做是不恰当的，编者提出这个问题不是空穴来风，定是有用的。课本设计结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与其导函数正负之间的关系，没有进行严格的证明，因为严格的证明需要导数的很多基础知识，远远超过本节的教学要求。但是不给证明不代表可以不问究竟，究竟为什么利用导数可以研究函数的单调性，如何解答学生心中的疑虑？这里的思考把导数的定义与函数的单调性定义联系起来，从概念的角度表达两者之间的内在联系，相当于旁证。所以，对“思考”的探究就显得十分必要了。

教材内容的重构既要依托于教材又要超越教材，灵活地、创造性地、个性化地对教材内容进行“裁剪”，对教学资源做出合理的选择和优化，为学生一一呈现出具有系统性和完整性的数学课，是教育一线者的不懈追求。

参考文献：

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