小议分部积分法分类教学法

Discussion of Integration by Parts by Category Teaching

Yang Gaoxiang

（Ankang University，Ankang 725000，China）

摘要：主要讨论了当被积函数为幂函数与三角函数的乘积、被积函数是幂函数与反三角函数乘积、被积函数是幂函数与对数函数、被积函数是幂函数与指数函数乘积、被积函数是指数函数与三角函数乘积时四种情况下，如何具体的应用分部积分法，使学生更好的接受分部积分法的思想。

Abstract: When integrand was the following five cases: product of prower function and trigonometric function,product of prower function and inverse trigonometric function, product of prower function and logarithmic function, product of prower function and exponential function, product of exponential function and trigonometric function, how to apply the integration by parts was discussed such that student would better accept the integration by parts.

关键词：分部积分法 函数分类 分类教学

Key words: integration by parts；category of functions；category teaching

中图分类号：G42 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）29-0193-01

0引言

对于《高等数学》的初学者而言对该课程的基本概念、定理的理解以及相关公式的应用往往有一定的难度，所以在实际的教学过程就需要教师对教学内容进行梳理，这样让才能使学生对所学的内容有比较清晰的认识和了解。对于不定积分的分部积分法[1]这部分知识已有许多从事高等数学教学的教师[2]对其教学方法进行了研究，笔者结合自己的教学经验认为就被积函数采取分类形式的教学能够使学生能够比较容易的接受和掌握计算要领。我们都知道分部积分法的公式为：?蘩f（x）dx=?蘩udv=u・v-?蘩vdu，其中要求?蘩vdu更容易求解。学生在利用这个公式求解不定积分题目时往往不知道如何选择恰当的函数u和v，使得?蘩vdu的计算比原不定分?蘩f（x）dx的计算更简单。下面我们主要从如下四个方面就被积函数的类型展开讨论。

1被积函数是幂函数与三角函数乘积

当被积函数是幂函数与三角函数的乘积时，三角函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与三角函数的乘积时，我们借助被积表达式中的微分运算，通过局部凑微分把三角形式的函数放到被积表达式中“d”的后面，从而确定出合适的函数u和v，然后再利用分部积分法公式进行求解。

例1. 计算不定积分?蘩x2cosxdx。分析：因为被积函数是x2cosx为幂函数与三角函数乘积的形式，我们只需要对函数cosx借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩x2d（sinx），然后再借助分部积分法公式进行求解。

解：?蘩x2dcosxdx=?蘩x2d（sinx）=x2sinx-?蘩sinxdx2=x2sinx-2?蘩xsinxdx=x2sinx-2?蘩xd（-cosx）=x2sinx+2xcosx-2?蘩cosxdx=x2sinx+2xcosx-2sinx+c

2被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数乘积

当被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积时，幂函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积时，我们借助被积表达式中的微分运算，通过局部凑微分把幂函数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面，从而确定出合适的函数u和v，然后再利用分部积分法公式进行求解。

例 2. 计算不定积分?蘩xarttanxdx[3]。分析：因为被积函数是xarttanx为幂函数与反三角函数乘积的形式，我们只需要对幂函数x借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩arttanxd（■x2），然后再借助分部积分法公式进行求解。

解：?蘩xarttanxdx=?蘩arttanxd（■x2）=■x2arttanx-■?蘩x2d（arttanx）=■x2arttanx-■?蘩■dx=■x2arttanx-■x-■arttanx+c

（其中c为任意常数）

例 3. 计算不定积分?蘩x2lnxdx。分析：因为被积函数是x2lnx为幂函数与对数函数乘积的形式，我们只需要对函数幂函数x2借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩lnxd（■x3），然后再借助分部积分法公式进行求解。

解：?蘩x2lnxdx=?蘩lnxd（■x3）=■x3lnx-■?蘩x3d（lnx）=■x3lnx-■?蘩x2dx=■x3lnx-■x3+c

3被积函数是幂函数与指数函数乘积

当被积函数是幂函数与指数函数乘积时，指数函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与指数函数的乘积时，我们借助被积表达式中的微分运算，通过局部凑微分把指数函数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面，从而确定出合适的函数u和v，然后再利用分部积分法公式进行求解。

例 4. 计算不定积分?蘩x2exdx。分析：因为被积函数是x2ex为幂函数与指数函数乘积的形式，我们只需要对指数函数ex借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩x2d（ex），然后再借助分部积分法公式进行求解。

解：?蘩x2exdx=?蘩x2d（ex）=x2ex-?蘩x2d（x2）=x2ex-2?蘩exxdx=x2ex-2?蘩xd（ex）=x2ex-2xex+2?蘩exdx=x2ex-2xex+2ex+c（其中c为任意常数）。

4被积函数是指数函数与三角函数乘积

当被积函数是指数函数与三角函数的乘积时，无论是先把指数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面还是先把三角函数形式的函数放到“d”的后面无所谓，不过要使用两次分部积分法，并出现一次循环。

例 5. 计算不定积分?蘩exsinxdx。分析：因为被积函数是exsinx为指数函数与三角函数乘积的形式，我们只需要对函数cosx借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩x2d（sinx），然后再借助分部积分法公式进行求解。

解：方法一：先把指数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面。?蘩exsinxdx=?蘩sinxdex=exsinx-?蘩exd（sinx）=exsinx-?蘩excosxdx=exsinx-?蘩cosxd（ex）=exsinx-excosx+?蘩exd（cosx）=exsinx-excosx-?蘩exsinxdx

故?蘩exsinxdx=■ex（sinx-cosx）+c（其中c为任意常数）。

方法二：先把三角形式的函数放到被积表达式中“d”的后面。

?蘩exsinxdx=?蘩exd（-cosx）=-excosx+?蘩cosxd（ex）=-excosx+?蘩cosxexdx=-excosx+?蘩exd（sinx）=-excosx+exsinx-?蘩sinxd（ex）=-excosx+exsinx-?蘩exsinxdx

故?蘩exsinxdx=■ex（sinx-cosx）+c（其中c为任意常数）。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学( 第六版上册) [M].北京: 高等教育出版社, 2007:208-212.

[2]袁秀萍.分部积分法的应用技巧[J].高等函授学报（自然科学版）,2010.23(5):22-23.

[3]武忠祥.数学考研历年真题分类解析[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2005:40.