运用能量判据法确定纯滚动时静摩擦力的方向

摘 要： 本文通过剖析刚体纯滚动时平动动能与转动动能比值的涵义，结合分析静摩擦力在纯滚动中的作用，得出了用能量比直接确定纯滚动时静摩擦力方向的方法。

关键词： 纯滚动 能量 静摩擦力 方向

1.引言

刚体纯滚动时，对所受静摩擦力方向的判断方法很多，已知刚体的运动趋势时，由静摩擦力总是阻碍物体的运动趋势可直接判断：如当仅受外力作用且合力线通过转动中心时，摩擦力的方向与滚动方向相反；当仅受合外力偶矩时，摩擦力的方向与滚动方向相同。一般情况下，主矢、主矩均不等于零时，最基本的方法是通过动力学方程求解得出结论，但判断过程较为繁杂。本文提供一种用能量法判断静摩擦力方向的简单方法。

2.纯滚动的能量判据

均质圆轮在临界纯滚动瞬态，静摩擦力为零。

其平动动能为：E=mV

转动动能为：E=Iω=I，

则轮子做临界纯滚动瞬时平动动能和转动动能的比值为：

=（1）

对于均质轮子，转动惯量I=mR，将之代入（1）式，得：

=2（2）

（2）式说明均质轮子做临界纯滚动时，静摩擦力为零，平动动能是转动动能的2倍，只有满足这个条件，均质轮子才能做临界纯滚动。

在一般情况下，刚体纯滚动时，静摩擦力不等于零，然而它是维持纯滚动的必要条件，是纯滚动时平动动能和转动动能相互转化的传媒，但静摩擦力所作的总功为零。当＞2时，为了使轮子纯滚动，静摩擦力对轮的平动要做负功，对轮的转动做正功，即减小增加，静摩擦力的方向与平动方向相反；当＜2时，为了使轮子纯滚动，静摩擦力对轮的平动要做正功，对轮的转动做负功，即增加E减小E，静摩擦力的方向与平动方向相同。所以，在一般纯滚动中，能量比的三种关系可作为确定纯滚动时静摩擦力方向的能量判据。

3.纯滚动时静摩擦力方向的能量判断法

对任意力系作用下的纯滚动，只需推知E与E的比值，依据能量判据即可确定纯滚动时静摩擦力的方向。

例1：均质刚性圆轮，受合力偶矩M和主矢F的作用下做纯滚动（F与M分别为常量）。试判断静摩擦力的方向。

解：设在Δt时间内，轮子绕质心的转角为θ，

则平动动能为：E=mV=FθR，转动动能为E=Iω=Mθ。

根据纯滚动的能量判据

（1）当==2时，静摩擦力为f=0。

（2）当=＞2时，静摩擦力的方向与滚动方向相反。

（3）当=＜2时，静摩擦力的方向与滚动方向相同。

例2.一个均匀薄圆轮质量为m，半径为R，轮子的初动能为0，在距圆心r处有一水平方向的拉力T，如例2图。试判断纯滚动时静摩擦力的方向。

解：根据题意，主矢F=T，力矩M=Tr，

则平动动能与转动动能的比值为：===。

根据纯滚动的能量判据：

（1）当r=时，=2，轮子受滚动摩擦力为0，即f=0。

（2）当＜r＜R时，=＜2，这时要增大E减少E，故轮子受滚动摩擦力的方向水平向右。

（3）当0＜r＜时，=＞2，这时要减少E增大E，故轮子受滚动摩擦力的方向水平向左。

4.结语

例1、例2的判断结果，与运用动力学方程计算所得到的结论相同。显然，用能量法来判断静摩擦力方向的方法更简单。因此，具有一定的实用价值和推广价值。

参考文献：

［1］彭瑞东，周宏伟，黎立云.滚动中的摩擦力判断［J］.中国矿业大学学报（自然科学版），2010，4（5）：83-85.

［2］刘大为，牛福龙.纯滚动轮所受静摩擦力方向的确定［J］.甘肃联合大学学报（自然科学版），2008，22（6）：51-53.

［3］戴国平.试析刚体做滚动运动时摩擦力的方向［J］.读与写（教育版学刊），2007，4（11）：39-40.

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