从下位概念到上位概念 逐步揭示数量关系

摘 要：最新人教版教材增加了“数量、单价、总价三者数量关系”的学习。文章结合教学实践从“整体感悟” “聚类领会” “整体揭示”和“情境运用”四大环节出发，浅谈“基于数学基本活动经验”的数量关系教学。

关键词：数学基本活动经验；上位概念；下位概念；数量关系教学

奥苏伯尔的有意义学习理论指出：当学习者在认知结构中原有的几个概念的基础上学习一个包容性程度更高的概念时，即原有概念是从属概念，而新学习的概念是总结性概念时，可采用上位学习的同化模式。在四年级学习数量关系之前，学生有关求“每本多少钱”“每根钢笔多少元”等这方面的知识积累还是比较丰富的；对于“买了几本”“买了几千克”等知识也能理解；对于“一共花了多少钱”生活中的体验更是深刻。对于前面提及的这些概念就是“单价、数量、总价”三个术语相对应的“下位概念”。基于这些思考，笔者采用“整体感悟”的教学策略，主要运用从下位概念到上位概念的结构教学。

一、整体感悟：激活下位概念

首先，在感性体验中，激活数量关系的事实原型。出示表1，通过学生之间的不同意见，让学生明白如果要准确比出这种笔记本在哪家超市比较便宜，还需要知道“买了几本”。紧接着出示表2和表3，让学生感知两种不同材料的背景，体悟两种不同的比较方法，并尝试归纳提炼比较的基本方法。一般情况下，“比便宜”可以着眼于两个维度：当“数量”相同时，直接根据“总价”的多少来判断谁更便宜；当“总价”相同时，根据“数量”来判断谁更便宜。因此，“比较便宜”的过程，就是包含“单价、数量、总价”三者之间关系的过程，迈出了整体感悟的第一步。

其次，在再度体验中，激发“求一个数量单位商品的价格”的需求。设计了如表4的材料，数量上存在倍数关系，学生出现了三种解法：①8÷4=2，24×2=48（元），48元>32元，所以红富士比较便宜；②8÷4=2，32÷2=16（元），32元>16元，所以红富士比较便宜；③24÷4=6（元），32÷8=4（元），6元>4元，所以红富士比较便宜。再出示如表5的材料，数量上不存在数量关系，学生只出现了一种解法：32÷4=8（元），35÷5=7（元），8元>7元，所以女士袜子比较便宜。接着进行一次小沟通对比，比较表5比的方法与表4比的方法的差异，逐步体会到用倍数关系来计算比^，具有一定的局限性，从而感悟到“求一个数量单位商品的价格”这种比较方法的简捷性和必要性。

最后，在类比中，求出课一开始导入的每本笔记本的价钱。

至此，学生在“比哪种笔记本便宜”“比哪种苹果便宜”“比哪种袜子便宜”的三种不同的单位数量的不同层次的比较中，通过不同形式的解决问题，积累了较为丰富的数学事实，逐步积累起有关抽象关系的整体体验，为下一步的数量关系的提炼做好了铺垫。

二、聚类领会：理解上位概念

基于平时的教学经验，笔者发现学生之所以很难牢固掌握“数量关系”，一个非常重要的原因是，他们对“数量关系”的三个数学术语的含义理解不够准确到位，从而影响他们对“数量关系”的整体意义的有效把握。“单价、数量、总价”这三个术语就是相对于前面提及的“下位概念”的相对应“上位概念”。在下位概念充分激活的情况下，将前面的各种“比便宜”聚类（如表6），先对本质进行沟通，发现表格的每列具有相似之处；再对材料进行整合，将三个表格合并起来，把原先的三个“表头”，置于新表格的顶部（如表7） ；最后大沟通，梳理生成“概念”，学习“上位概念”。

“单价、数量、总价”这三个概念中，“单价”是核心概念。对于“单价”这个核心概念，还采取“先归统再区分”的教学策略。在未揭示“单价”和“总价”的概念之前，引导学生观察发现，同样是“价钱”，第3、第4列有什么不同，从而引出：数学上为了准确区分这两种价钱，把购买的几千克、几双、几本的价钱，也就是“一共花了多少钱”统称为“总价钱”简称“总价”；把每千克、每双、每本的价钱，也就是“一个数量单位商品的价格”，简称“单价”。同时，在学生举“单价”例子和欣赏各种“单价”例子中，完善“单价”的内涵：单价不仅是指一件商品的价钱，也可以是几件商品拼成的一组或一箱等的价钱。

因此，在教学的前阶段要舍得花时间，设计先行组织者，借助学生已有的生活经验，从下位概念顺承到上位概念，为其继续感悟“三个术语之间有什么联系”作好铺垫。学生对概念、方法的理解是逐步深入的，这种渐进的过程其实就是经验的丰富与条理化的过程。

三、整体揭示：提炼数量关系

事实上，经过前面环节的学习，对于“单价=总价÷数量”的关系方式，学生已经有了扎实的功底来建立。紧接着，放手让学生独立思考、同桌互助，借助表格中的数据信息，自主归纳提炼出另外两个数量关系式。同时也不断追问“你怎么证明你编的数量关系式是正确的”，从而帮助学生经历将数量关系与具体情境相分离的抽象过程，又使学生能在抽象的数量关系与具体情境之间建立有意义的联系，至此整个“数量关系”的系统脉络便链接成网了。学生学习数学的过程是数学活动经验逐渐积累的过程，而学生积累数学活动经验的过程是学生感性经验的积累逐步向理性经验转变的过程。

积累数量关系的基本结构，能使学生在获取信息之后迅速地形成解决问题的思路，提高解决问题的能力。但是现实生活中的问题千姿百态，结构变化多端，也需要不断形成一些解决问题的方法。纵观本节课的设计，可以发现购物问题的“单价、数量、总价”的数量关系式揭示得恰到好处，同时有前面的整体感悟，学生不会将解题方法框定住。例如，“4千克苹果24元，3千克梨15元，妈妈买了8千克的苹果和9千克的梨一共需要多少元钱？”学生在完成此类问题时，解题方法呈现多样性，有的利用数量关系式来解答，有的利用倍数关系来解答。因此，数量关系的教学既要揭示得充分到位，又不能将数学思维教死，从而使学生主体性、多样性的数学基本活动经验得到优化。

四、情境运用：促进经验积累

学生数学活动经验的积累是一个循序渐进、层层递进的过程，因此，积累基本活动经验要注重学生基本活动经验的运用。在情境运用的过程中要注重小结性的语言，关键性的小结对于促进学生数学活动经验的积累具有重要的作用。

首先是两道针对性的专项练习，巩固所学的三个数量关系式。把“数量关系”放回到学生熟悉的情境中，让学生用它解决实际问题，落实知识技能目标。在师生的交流中，学生自主发现、小结：单价、数量、总价三者之间存在三个数量关系，利用数量关系式，已知其中任何两个量，都能求出第三个量。促进学生解决问题的基本结构（两个相关条件和一个问题）的表象完整化，积累解题经验。

其次是数形结合，有意识地渗透函数思想，建立函数表象。设计如表8， 收集整理学生的数据，形成条形统计图。在动态的过程中形成了对函数直观的认识，更好地帮助学生把握数量间的变化规律 ：“单价”一定，“总价”随着“数量”的增多而增多，随着“数量”减少而减少。这样一句小结性的语言，使学生由具体形象的静态认识提高到在运动、变化中去概括，形成函数表象。

基于数学基本活动经验的数量关系的教学时，大致可以经历“整体感悟”“聚类领会”“整体揭示”和“情境运用”。笔者认为，“整体感悟”要做到体验丰富，“聚类领会”要做到理解准确， “整体揭示”要做到提炼到位，“情境运用”要做到内化灵活，这样“数量关系”才能扎实有效地纳入学生的认知结构中，成为数学基本活动经验的一个部分。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]吴亚萍，王 芳.备课的变革[M].北京：教育科学出版社，2007.

（作者单位：福建省厦门市滨海小学）