鞅在考虑退保的复合二项风险模型中的应用

摘要:在离散时间的情况下,考虑到保险公司退保事件的发生,建立了一种新的符合实际运营的风险分析模型.模型中保单到达过程,退保过程及理赔过程发生均为复合二项过程,并且构造一个离散鞅,应用收敛定理及鞅分析方法对保险公司的风险模型进行研究,得到了最终破产概率及Lundberg不等式。

关键词：复合二项过程；鞅；停时；破产概率

中图分类号：TP393文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)12-2896-02

Martingale Applied in the Ruin Probability of the Compound Binominal Risk Model with Refund

CHEN Zhong-hui, LIU Peng

(Automation Institute of Lanzhou Petrochemical Company, Lanzhou 730060, China)

Abstract: Under the discrete time, a new and practical risk model which is the ruin probability of the Compound Binominal risk model was introduced by considering the refund event of insurance company. By the martingale approach and convergence theorem, the formula of ultimate ruin probability are proved simply, and the Lundberg inequality is derived.

Key words: compound binominal risk model; martingale; stopping time; probabilities of ruin

1模型的建立

风险模型是保险经营者或决策者对各种金融或保险风险进行定量分析和预测的主要工具[1-2]。经典风险理论认为,保险公司在时刻的盈余过程可描述为

(1)

其中为初始资金,为总理赔额,保险公司按照单位时间常数速率取得保费.通常保险公司在经营中可能发生的事件主要有以下几种情况:客户购买保单,发生理赔等。但理赔及退保发生需予以赔付,而保单到期不需赔付,因此,模型中的盈余过程可暂不考虑保单到期事件的影响,但要考虑到退保事件的发生。为此,Grandell对模型(1)做了如下改进[1-2]

(2)

其中,,分别为保单到达过程,退保过程及理赔过程,且设三者为相互独立的过程,其强度分别为,,;而为每张保单退回时的平均给付额,且,(,,均为常数);个体理赔额是i.i.d的非负随机序列.考虑到稀疏过程在保险公司破产问题中的应用和实际的保费经营情况[3][6],人们又将模型(1)进一步完善为

(3)

其中与分别为保单到达过程的稀疏与稀疏.

模型(2)与模型(3)都考虑到了退保事件的发生,研究得到了保险公司破产概率的一个上界。讨论了该模型的基本性质,破产概率及其上界。在一个完备的概率空间中,模型的数学描述及构成如下:

定义1.1设给定概率空间,,令

(4)

称过程为带支出的复合二项风险模型。

其中

1)表示初始资本,为公司的营运时刻,即公司收取保费,进行赔付,退保以及支出均在离散时刻进行,在时间段中进行的一切工作,视为在时刻进行的。

2)为参数的二项随机序列,为第次收取的保费,为独立同分布的随机变量序列,,且与独立,则是复合二项过程,记为保费收取过程.

3)为参数的二项随机序列,为第次的退保额,为独立同分布的随机变量序列,

,且与独立,则是复合二项过程,记为退保过程.

4)为参数的二项随机序列,为第次的索赔额,为独立同分布的随机变量序列,

,且与独立,则是复合二项过程,记为索赔过程.

定义1.2记表示保险公司破产发生的时刻,保险公司的最终破产概率为|.

为了维系保险公司的正常经营,须.

在对最终破产概率公式的研究中,比较常见的方法是应用累进均值法则和Chebychev不等式[5][6]来证明,该文应用有关鞅的理论[1-4]给出简洁的证明。

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