时间：2022-05-11 01:51:16
“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，“以数觅形，以形助数”通常能使问题的解决更直观、更简捷. 高考题中一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如果能通过构造与之相应的图形进行分析，往往事半功倍. 现举例说明如下，希望能对同学们有所帮助.
一、 数形结合破解函数零点
例1 （2011年新课标全国卷）函数y＝■的图象与函数y＝2sinπx（－2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析 当x＝■时，y＝■＝2；
当x＝■时，y＝■＝-2.
两函数图象如右图所示，可知有8个交点，且关于点（1，0）对称，所以所有交点的横坐标之和为8.
故选D.
点评 此题考查函数的图象、函数图象的交点及函数的对称性问题. 题中两个函数都是中心对称图形，结合函数的图象解题，直观易懂，可简化运算过程.
二、 数形结合解读新信息
例2 （2011年天津文科卷）对实数a和b，定义运算“?茚”：a?茚b=a，a-b≤1，b，a-b>1.设函数f（x）=（x2-2）?茚（x-1），x∈R. 若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A. （-1，1］∪（2，+∞） B. （-2，-1］∪（1，2］
C. （-∞，-2）∪（1，2］ D. ［-2，-1］
解析 f（x）＝x2-2，x2-2-（x-1）≤1x-1，x2-2-（x-1）>1
=x2-2，-1≤x≤2，x-1，x2.
则f（x）的图象如右图所示.
函数y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，
函数y＝f（x）与y＝c的图象有两个交点，由图象可得
－2
故选B.
点评 本题属于定义新运算问题，考查函数与轴的交点个数以及参数的取值范围，考查的关键点是通过对信息读、解、移的过程，化抽象为具体，化未知为已知，另外也展示了数形结合法在解题中的重要性. 这是近几年高考中出现频率较高的题型之一，因其背景新颖，构思巧妙，能有效地考查考生接受信息，以及进行加工、迁移、类比的能力，因此备受高考命题专家的青睐.
三、 数形结合求参数范围
例3 sinx+cosx=■a在［0，π］上仅有一个实数解，则实数a的取值范围是 .
分析 判断方程解的个数，可以借助函数的图象与直线的交点来完成，所以构造熟悉的曲线模型并作出正确的图形是解题的关键.
解 sinx+cosx=■a，
sin（x+■）=a，
又x∈［0，π］，
x+■∈［■，■］.
令t=x+■，t∈［■，■］，则问题转化为求y=sint的图象与y=a的图象只有一个交点时a的取值范围.
画出y=sint的图象如上图，由图可知a=1或-■≤a
点评 借助图形进行方程解的个数的判定时，要求作图要准确，模型合适，并由题目的特点，采用数形结合的思想方法，借助图形的直观性得到结论.
四、 利用数形结合比较大小
例4 （2011年天津卷）已知a=5log23.4，b=5log43.6，c=■■则（ ）
A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>a>b
解析 令m=log23.4，n=log43.6，l=log3■，在同一坐标系中作出三个函数的图象如右图.
由图象可得m>l>n.
又 y=5x为单调递增函数，
a>c>b.
故选C.
点评 本题主要考查指数函数单调性的应用、对数式的大小比较，一般是利用指数函数单调性进行比较. 对数式的比较类似指数式比较，也可以寻找中间量. 相对来讲，数形结合要简单一些.
五、 数形结合模型化
例5 （2011年江西卷）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点. 那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M、N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
解析 由运动过程可知，小圆圆心始终在以原点为圆心，0.5为半径的圆上运动.
当小圆运动到两圆相切于P点时，则小圆与大圆的切点P转过的弧长PA长度等于弧PM.
过小圆圆心B作BF垂线MP，设转动角度为∠AOP=β，
则大圆弧长PA=1×β.
小圆弧长PM=0.5×∠MBP，
且 ∠MBP=2β，
则∠MBF=β，则∠MBF=∠FBP=∠POA，
BF∥OA，则MP平行y轴.
又∠PMB=∠BNO，
ON∥MP，
ON∥y轴，则N点在y轴上.
又BF为PMO的中位线，
BF∥OM，则OM∥OA，
M点在x轴上.
故点M、N在大圆内的最终运动轨迹为选项A所示.
故选A.
点评 许多数学问题可以通过构造几何模型、构造函数式、构造图表等来解决. 函数的图象为数形结合带来了便利条件，从图象上寻找突破口常常是解决问题的关键，如果方程自身或方程两边的表达式有明显的几何意义，可以把抽象的数量关系转化为图形来解决. 这种模型化的处理方法在判断方程解的个数（不是求方程根的具体值）时显得十分简单、直观.
六、 借用数形结合巧解集合题
例6 有41名学生参加数、理、化三科竞赛，其中不及格的人数为：
试问有多少学生三科都及格？
解析 本题可借助韦恩图来解.
如右图，由题意可知，总人数41人，即可得三科及格的人数为：41-15=26（人）.
点评 本题若用代数的方法来解，比较抽象，较难获得答案，但若借助韦恩图来解，则答案一目了然，既直观又好理解.
七、 借用数形结合巧求最值
例7 求函数y=■的最值.
解析 令u=■，v=■， 则■+■=1 （0≤u≤2，0≤v≤■）. （*）
构造椭圆曲线，则函数y表示椭圆（*）（第一象限部分，包括M1、M2）上一点M（u，v）与点A（-2，-■）这两点连线的斜率.
MA的斜率范围是■≤y≤■，即
当x=1时，ymax=■；
当x=2时，ymin=■.
点评 从形式上来讲，本题属于代数问题. 函数的最值较难求解，本题可根据代数式的特点，通过换元法和构造法，把问题转化为椭圆曲线上的动点与定点A连线的斜率范围问题.