矢量波动方程的新瀑布型多重网格方法

摘要: 矢量有限元因能有效地避免伪解而被广泛用于模拟分析电磁问题，选取矢量有限元对电磁场矢量波动方程进行离散计算．基于本征有限元外推技术，将有限元外推技术推广应用到矢量波动方程本征问题，并结合瀑布型多重网格方法提出了一种基于矢量场本征问题的外推瀑布型多重网格方法．算例说明新方法是一种具有高精度的有效方法．

关键词: 瀑布型多重网格方法；矢量有限元；外推；矢量波动方程

中图分类号:O 24182

文献标志码:A文章编号:1672-8513(2011)04-0267-05

A New Cascadic Multi-Grid Method for the Vector Wave Equation

LU Kangmei，LI Chengliang，CAO Yanbin

(School of Mathematics and Computational Science，Guilin University of Electronics Technology，Guilin 541004，China )

Abstract: The vector finite element method，which can effectively avoid the spurious modes，is widely used in the analysis of electromagnetic problems，as is the case in the discrete calculating of the vector wave equation．The finite element extrapolation technique for the eigenvalue problem, which is proposed by Yang Yi-duo，is extended and applied to eigenvalue problems of vector wave equation．In this paper，a new cascadic multi-grid method based on the vector field eigenvalue problem is proposed，based on the extrapolation technique．The numerical results show that the new method is a very accurate and efficient method．

Key words: cascadic multi-grid method；vector finite element；extrapolation；vector wave equation

在微波理论和技术中，谐振腔本征值问题是最基本的问题之一.很多微波部件和系统的分析与最优化设计又往往以该问题的求解为基础．矢量有限元方法是近10年来在电磁场计算中应用比较广泛的一种方法．只要选择了合适的矢量基，所考虑结构的内部和外部边界都能够从数学上自然满足，就能够很好地解决伪解问题；又因为有限元方法的网格划分能很好地模拟实际结构，因此我们选择了矢量有限元对谐振腔进行离散计算．

多重网格方法，对于求解由微分方程离散化得到的方程组来说，是目前最快速高效的方法之一，它的求解的工作量可降为O(n)或O(nlnn)．因此它在计算电磁场问题上得到了广泛的关注，最近一些学者发展了基于棱边元的多重网格算法[1-6]．瀑布型多重网格无需粗网格校正，它比一般的多重网格方法计算量减少了，从而提高了计算效率，然而基于棱边元上的瀑布型多重网格方法的研究还是比较少的，特别是矢量场的本征问题，目前研究的也较少．

外推算法是由林群， 陈传淼等[7-8]引入到有限元求解偏微分方程，杨一都在文献［9］中引进了本征有限元外推的一个新技术， 李永明等[10]将有限元外推应用到了波导本征问题．本文在其基础上， 将其推广应用到矢量波动本征问题， 具体的算例表明其可行性和高精度性．

本文结合外推技术，提出了一种基于矢量场本征问题的瀑布型多重网格方法．数值算例结果说明该方法的有效性和实用性．

1 数学基础

对于一个填充相对介电常数为εr和相对磁导率为μr介质的封闭谐振腔体，对应的矢量波动方程为

其中ε为精度控制参数． 以上迭代过程简记为(λj,uj)=NC｛(j,j)｝．

2.3 外推技术

定理1 设剖分是强正规的， 又设λ为对应于波导本征问题的简单本征值， 相应的规格化本征函数u∈C4(Ω)， 则本征值外推估计为:

λ=13(4λh/2－λh)+ο(h4).

详细证明见文献［9］．

类似的，设某矩形谐振腔在粗矩形剖分单元下计算得到的本征值为λh， 随后在此粗剖分基础上加密剖分1次， 再计算得到的本征值为λh/2 ，则根据定理1 ，此矩形谐振腔本征值可由外推λhw=13(4λh/2－λh)（记为λhw=E(λh/2,λh)），得到更精确的解．

2.4 矢量波动本征问题的瀑布型多重网格算法

对于矢量有限元离散产生的一系列本征方程组Aiui=λiBiui(i=0,1,2,…,l)， 若要求解最细网格层l层上本征方程Alul=λlBlul， 我们结合外推技术给出如下求解该本征问题的新瀑布型多重网格算法．

由图2，我们也可以看出随着网格的加密计算的精度越来越高，从而验证了算法的快速收敛性，且和一般的瀑布型多重网格方法比较计算精度也提高了很多．

4 结语

从上述的算法公式，以及矩形谐振腔的谐振频率计算结果的分析可以看到，利用瀑布型多重网格方法大大减少了计算量，将外推推广应用到谐振腔本征问题求解精度得到了很大的提高，因此在比较少的单元剖分下便可以较大的提高计算精度．计算过程也比较简单，易于编程，因此该算法在现代数值计算中是一种十分实用、简单、高效的新方法．

参考文献:

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［6］金建铭，王建国，葛德彪．电磁场有限元方法［M］．西安：西安电子科技大学出版社，2001:165-186.

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［10］李永明，俞集辉．有限元外推法在波导本征值问题中的应用［J］．重庆大学学报:自然科学版，1999，22(4)：78-81．

［11］匡前义，李郴良,李明．一种求解广义特征值的瀑布型多重网格方法［J］．云南民族大学学报：自然科学版，2009，18(3)：202-205．