“空心”问题的几种题型与解法

“空心”问题,是初中物理学习中的一个非常典型的题型,它与初中物理中的许多知识点(如密度、重力、浮力、热量等)都有联系.同学们在解决这类问题时往往 “束手无策”.为此,本文将通过列举各类题型,分析解法,以帮助同学们“破解”这一题型.

题型一:与密度相联系

例1一个铜球的质量是712g,体积是100 cm3,试判断这个铜球是空心的还是实心的?(铜的密度为8.9×103kg/m3)

分析判断铜球是实心还是空心有三种方法:(1)把铜球质量712g与实心铜球质量相比较,若相等,则实心;若小于,则空心.(2)计算出质量为712g,体积为100 cm3的铜球的密度,与铜的密度相比较,若相等,则实心;若小于,则空心.(3)把712g铜的体积与铜球体积相比较,若相等,则实心;若小于,则空心.

解法1由题意铜球的质量和体积可知,则由密度公式ρ=m/V计算出球的密度ρ球.如果ρ球=ρ铜,则可判断铜球是实心的,如果ρ球ρ铜,可知铜球是空心的.(算得ρ球=7.12×103kg/m3)

解法2先假设铜球是实心的,则可由m铜=ρ铜V球计算此“实心铜球”的质量

m铜,若所求得的m铜=712g,说明球是实心;如果m铜712g,说明球是空心.(算得m铜=890g)

解法3球的质量是=712g,设此球是实心的,则“实心铜球”的体积V铜=m球/ρ铜.若V铜=100cm3,则铜球是实心的;若V铜100cm3,则铜球是空心的.(算得V铜=80cm3)

说明:若题目最后还要求求出空心体积,则选用方法(3)更方便.

例2一个体积为0.5dm3的铁球,其质量是1.58kg,ρ铁=7.9×103kg/m3=7.9g/cm3.问:(1)它是实心的还是空心的?为什么?

(2)如果是空心的,空心部分能注入多少克水?

(3)若该铁球是实心的,它的质量应是多少克?

解析 (1)因为,无论铁球是实心的还是空心的,铁球的质量就是铁的质量

m铁=1.58kg=1580g.

现在假设铁球是空心的,则铁球的体积0.5dm3不能用.只能通过求铁球中的铁的体积V铁,再与铁球的体积V球比较.

V铁= m铁/ρ铁=1580g/(7.9g/cm3)=200cm3

=0.2dm3.

因为铁球中铁的体积为V铁= 0.2dm3,而铁球的体积为V球=0.5dm3,所以该铁球是空心的.

(2)空心部分的体积=铁球的体积-铁的体积,即V空=V球-V铁.

上一题中已求出铁的体积为0.2dm3,铁球的体积为0.5dm3,所以,空心部分的体积为V空=V球-V铁=0.5dm3-0.2dm3=0.3dm3.空心部分注入水后,水的体积为0.3dm3.水的质量m=ρV=1.0g/cm3×300cm3=300g.

(3)既然铁球是实心的,则这时铁球的体积就是铁的体积,所以此时铁的体积为0.5dm3,记作V铁=0.5dm3=500cm3.

m铁=ρ铁V铁=7.9g/cm3×500cm3= 3950g.

思考:

1.质量相等半径相同的空心铜球、铁球和铝球各一个(ρ铜> ρ铁> ρ铝),则空心部分体积最大的球是().

A.铜球 B.铁球

C.铝球 D.条件不足无法确定

2.一个体积为0.5dm3质量为0.81kg的铝球,是空心的还是实心的?如果是空心的,空心部分的体积是多大?若把空心部分注满某种液体,球的质量为10.1 kg,则该液体的密度为多大?(铝的密度为2.7×103kg/m3)

题型二:与重力、浮力相联系

例3把体积为1dm3的铁球(铁的密度为7.9×103kg/m3)挂在弹簧测力计上,若将铁球浸没在水中,则弹簧测力计的示数是它在空气中的4/5.问:这个铁球是空心的还是实心的?(用两种方法求解)

解析(1) G-F浮=F示, mg-F浮=■mg,■mg=F浮,■ρ铁球Vg=ρ水Vg ,ρ铁球=5ρ水,小于7.9×103kg/m3,所以铁球空心.

(2) 铁球若实心,则铁球浸没水中时弹簧测力计的示数与铁球重力的比为

(G-F浮)∶G=(ρ铁Vg-ρ水Vg)∶ρ铁Vg ,数据代入得:(7.9-1)∶7.9=6.9∶7.9,而此时为 4∶5

例4一个空心球横截面如图,球的总体积为V,空心部分的体积是总体积的1/4,将球投入水中后,它漂浮在水中,露出水面的体积是V/4,若将它的空心部分注满水,然后投入水中则().

A.球仍漂浮在水中,但露出水面的体积小于V /4

B.球仍漂浮在水中,露出水面的体积仍是V /4

C.球可悬浮在水中的任何地方

D.球将下沉,直至沉到水底

解法1设原来球的密度为ρ球空心球浮在水中它所受浮力等于其重力,即ρ球gV=ρ水gV3/4,当将空心部分注满水后球重增加ρ水gV/4,球总重为:

G=ρ球gV+ρ水gV/4=ρ水gV,充水后球的密度ρ=ρ水,由浮沉条件知球将悬浮.

解法2设原来球壳密度为ρ1球漂浮F浮=G排,即: 3ρ1gV/4=3ρ水gV/4,ρ1=ρ水.充水后球的密度ρ仍旧等于ρ水,球将悬浮.

解法3原球体的3/4排开水的重恰等于实心部分球重,而球体的1/4排开的水重又会等于空心部分所注水重,则充水后F浮=G.球会悬浮.

思考:

1.质量为270g的铝球悬浮在水中,(1)求球受到的浮力是多少?(2)球中间空心部分的体积是多少?(铝的密度为2.7×103

kg/m3,g=10N/kg)

2.甲、乙两空球质量相等,球内空心部分体积均相等,把它们同时放入水中,甲漂浮,乙悬浮,若把甲球的空心部分一半注入某种液体,则甲球也悬浮于水中,求甲球空心部分所装的液体密度.(甲密度为2g/cm3,乙密度为5g/cm3)