操千曲而晓声,观百剑而识器

历年来解析几何问题是高考重头戏，但考生对其“望而止步、不战而退”，究其原因是在解决解析几何过程中往往会碰到繁琐、冗长的运算，而运算能力薄弱一直是广东考生的“软肋”，加上考生缺乏简化运算意识和策略，这就导致了考生对解析几何题产生了“弃之可惜，食之无味”的情况.其实，我们只要能根据问题的条件，寻找设计合理、简捷的运算途径，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的.下面笔者和考生一起来探求简化解析几何运算策略，让考生理解解析几何算理，掌握其算法，最终提高解析几何问题的运算求解能力.

一、回归定义 事半功倍

求简思维是建立在对定义、概念深入理解的基础上，掌握其本质属性，运用相关的概念、定义对问题的定性分析和定量计算有机结合起来，可以使运算过程简捷明快，因此我们在解题中若能回归定义，则很多问题可以化繁为简.

例1. 若点M（x，y）满足■-|x-y+3|=0，则点M的轨迹是（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

分析：本题若移项再平方，可进行化简，但表示式中会出现xy项，判断曲线就比较困难，这时我们需要对原式进行合理变形，结合圆锥曲线定义，就可以事半功倍.

解析：由■-|x-y+3|=0，得

■=■.此式可以看成是动点M（x，y）到定点（-3，1）与定直线x-y+3=0距离之比为■的点的轨迹，根据圆锥曲线的定义，此轨迹为双曲线，选C.

点评：本题采用了“回归定义”的策略，达到准确判断、灵活解题、避免大量运算的麻烦.其实，很多解析几何问题都是由定义派生出来的，这时理解定义、掌握定义、活用定义就成了解题的金钥匙，所以在解题过程中采用“回归定义”策略能获得题目所固有的本质属性，最终实现巧思妙解.

二、平几开路 峰回路转

解决解析几何的运算问题，往往需要涉及到多个变量或参数，直接运算较为繁琐，甚至会半途而废.这时如果借助平面几何知识来开路，利用平面几何技巧性强、运算量少的特点，分析题目所涉及的图形的几何性质，结合有关几何性质来解决问题，常常可以峰回路转，收到简捷巧妙解题之功效.

例2. 双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点.已知■、■、■成等差数列，且■与■同向，求双曲线的离心率.

分析：本题若直接求解，由于运算量特别大，根本无法得到答案.这时我们若能把握两条渐近线在直角坐标系中的位置特征，用平几开路——从其几何性质入手，这可使解题思路简明，避免了复杂的代数运算.

解析：由对称性可知∠AOF=∠BOF，再根据角平分线的性质定理得■=■，再由等比性质可得■=■=■=■■，即tan∠AOF=■，由渐近线方程由■=■，再结合a2+b2=c2得双曲线离心率为■.

点评：本题的解法从题目的几何特性入手，抓住了过焦点的垂线、双曲线的渐近线及其对称轴的性质，利用勾股定理和三角形角平分线定理，运算简捷，将平面几何性质应用得淋漓尽致.从中也可看出：在解题时我们若能利用圆锥曲线几何性质，结合运用平面图形的有关几何性质来另辟蹊径，可以有效地避免繁琐的推理运算，往往事半功倍、别样精彩.

三、设而不求 出奇制胜

许多解析几何问题，若采用常规方法，不可避免地要解方程组求点的坐标及有关参数，而若通过“设而不求”的策略（所谓的“设而不求”，就是在解题时设一些参数作为媒介，在解题过程中并不求出这些参数，只用它们连接已知量和未知量，最后又巧妙地将其消去，求出欲求量），只需设出有关的坐标、有关直线或曲线的参数，运用有关公式、方法等绕开繁琐的运算，达到出奇制胜的效果.

例3. 椭圆内■+■=1有一点P（1，1），一直线

经过点P与椭圆交于P1，P2两点，弦P1P2被点P平分，求直线P1P2的方程.

分析：若遵循常规思路，只需求出直线P1P2的斜率k，利用待定系数法求出直线P1P2与椭圆方程联立消元后得一元二次方程，其两根为P1，P2两点横坐标，再利用中点坐标公式及韦达定理可得关于k的方程，但运算量很大.这时若采用设而不求的策略，则出奇制胜，使问题迅速获解.

解析：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），由点P1，P2在椭圆上得■+■=1，■+■=1，两式相减得：■+■=0，又点P为P1P2中点， x1+x2=2，y1+y2=2.所以当x1≠x2时，k=■=-■，可求得直线为2x+3y-5=0，当x1=x2时不满足条件，故直线P1P2方程为2x+3y-5=0.

点评：本题通过“设而不求”的简化策略，大大减少了运算量，尽显方法之绝妙，达到出奇制胜的效果.一般来说，研究直线与圆锥曲线中涉及到求中点弦所在直线方程的求法、弦的中点的轨迹方程、弦长等问题时，常常可以采用设而不求策略，这样不仅可以有效解决相关问题，而且还可以大大减少运算量.

四、数形结合 直观形象

数形结合是解析几何中的基本思想方法，由数思形、以形助数、数形结合，将定性的判断和定量的计算结合起来，可以直观形象，达到简化运算的效果.所以我们在解决解析几何问题时要从分析图形本身所固有的几何特征入手，或从运动变化的观点来分析考察图形中某些量的变化规律，往往可使问题简捷获解.

例4. 设点P（0，■），动点A，B在椭圆■+■=1上且满足■=？姿■，试求？姿的取值范围.

分析：若直接设点出来由■=？姿■进行求解，过程繁琐，这时我们寻找其它途径，从图形出发，采取数形结合策略问题则“显山露水、一览无余”.

解析：当三点P，A，B共线（如图1），当A（0，3），B（0，-3）时，？姿=■为最小；将直线PA绕点P逆时针旋转至相切（A，B重合）有？姿=1；回转至A（0，-3），B（0，3）有？姿=5为最大，故有？姿=[■，5].

点评：本题采用数形结合策略，通过分析图形征，大大简化了运算过程，这正是“数无形少直观，形无数难入微，数形结合相得益彰”.所以我们在解题的过程中应把握图形中的特征，使问题得以快速解决.

五、参数引路 绝处逢生

解决解析几何问题时，恰当引入参变量，把许多相关或不统一的量统一到某个参数下，往往能起到减少变量、简化结构、优化运算的作用.

例5. 自M（1，-1）引直线交抛物线y=x2于P1，P2两点，在P1P2上取一点Q，使MP1，MQ，MP2三者的倒数成等差数列，求点Q的轨迹方程.

分析：若题目直接根据条件MP1，MQ，MP2三者的倒数成等差数列来求点Q的轨迹则不可避免要用到距离公式，这将导致过程繁琐，难以求出点Q轨迹.这时我们若能用参数引路，则可以优化运算.

解析：设l：x=1+tcos？兹，y=-1+tsin？兹（？兹为倾角，t为参数），代入y=x2中得t2cos2？兹+（2cos？兹-sin？兹）·t+2=0 …①

？驻=（2cos？兹-sin？兹）2-8cos2？兹>0，即tan2？兹-4tan？兹-4>0，tan？兹>2+■或tan？兹

设Q对应的参数为tQ，则由题意可得■+■=■， 由P1、Q、P2在l上位于M的同侧，■ +■=■， tQ=■=■，x=1+tQcos？兹，y=-1+tQsin？兹，即x=1+■，y=-1+■. ……③

由②得x ∈（1，1+■）∪（1-■，1）.

将③化为普通方程得2x-y+1=0（其中x∈（1-■，1）∪（1，1+■）.

点评：本题运用直线的参数方程，通过参数来处理线段长度问题，有效回避了距离公式，让难以解决的问题绝处逢生.所以在平时解决解析几何问题时，我们只要合理设参，采用“参数引路”的策略就可以将定值问题、最值问题、范围问题、存在性问题等巧妙转化，突破难点，有效地避开其繁琐的运算.

六、向量搭桥 柳暗花明

向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，融数形于一体，是沟通代数和几何的桥梁.它可以将几何问题坐标化、数量化，因此它是解决解析几何问题的重要工具.所以我们可以用向量关系来表示解析几何中的几何关系，然后再利用等价转化思想把几何问题转化为向量问题，通过向量运算得到几何问题，最终起到化繁为简的作用.在平面解析几何中有关长度、角度的计算及有关平行（三点共线）、垂直等位置关系问题都可以用向量知识解决，因此用向量搭桥策略，能使考生更好避免解析几何繁杂的运算.

例6. 已知双曲线C的方程为x2-■=1，设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值.

分析：本题如果想直接求出∠AOB的大小，构造三角形利用余弦定理或者正弦定理来求出其大小的方法计算量十分大，显然这不是最明智的选择，这时如果采取向量搭桥的策略，利用等价转化的思想，把∠AOB转化为■，■的夹角，容易求得■·■=0，这样便可得证.

解析：由点P（x0，y0）（x0y0≠0）在圆x2+y2=2上，圆在点P（x0，y0）处的切线方程为y-y0=-■（x-x0），化简得x0x+y0y=2.由x2-■=1，x0x+y0y=2及x02+ y02=2，得（3x02-4）x2-4x0x+8-2x20=0 …… ①

（3x20-4）y2-8y0x-8+2x20=0 …… ②.切线l与双曲线C交于不同的两点A，B，且0

点评：本题若用直接求角的方法思路自然，但运算繁冗，而用向量搭桥的策略，则显得“柳暗花明”.将向量和解析几何知识巧妙连接在一起，使原本难以解决的解析几何问题得以容易解决.

七、整体代换 直奔目标

在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过整体代换的策略（即：解析几何的许多问题，常需在解题中把某个相关的式子看作整体，直接或变形后将其代入另一式子，以减少或避免求某个变量而造成繁琐运算），这种整体代换的做法有利于看清问题的本质，找出内在规律，更有利于简化运算环节，直奔目标，使问题迅速求解.

例7. 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

分析：用常规解法是设所求直线方程l为y=x+b，将其与圆的方程联立，用l的斜率k表示出x1，x2和y1，y2，然后利用x1x2+y1y2=0，求出k的值，从而确定l的存在与否.这样处理的话，运算量较大.如果设出以AB为直径的圆的方程，结合已知圆的方程，用整体转化代换表示出它们相交弦所在的直线的方程，在根据条件求出相关的参数，则运算过程较为简捷.

解析：设以AB为直径经过原点的圆的方程为C1：x2+y2+Dx+Ey=0 ……①，结合C：x2+y2-2x+4y-4=0 ……②，①-②得（D+2）x+（E-4）y+4=0，即此方程为直线l的方程.再结合l的斜率为1可得D+2=-（E-4） ……③，又圆心C1（-■，-■）在直线l上，即（D+2）（-■）+（E-4）（-■）+4=0 ……④，由③④解得D=2，E=0或D=-3，E=5，故存在满足题意的直线l，所以所求方程x-y+1=0或x-y-4=0.

点评：本题从两个圆的方程作差得的方程是本题的关键，在解析几何中，当涉及直线系、曲线系等问题时经常采用整体代换策略来寻求解题途径，这也是优化简化解析几何运算的有效策略.

八、牛刀小试 融会贯通

尽管上面只提供七种简化运算的策略，但只有我们深刻理解各种策略的内在联系和本质才可以达到融会贯通的境界，因此考生还需要通过下面的练习来更好巩固这几种简化运算的策略.

1. 设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线相切，则C的圆心轨迹为（ ）

A. 抛物线 B. 双曲线 C.椭圆 D.圆

（提示：用回归定义策略，参考答案：A）

2. 已知A（-1，0），B（1，0），点P是圆C：（x-3）2+（y-4）2=4上一点，求| AP |2+| BP |2的最小值.

（提示：用活用平几策略，设点P坐标，利用两点间距离公式，那运算量很大，利用平面几何知识把| AP |2+| BP |2转化为一个定值和一个变量就可以简化运算过程.参考答案：20.）

3. 过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线x2-■=1

交于两点P1和P2，且A为线段P1P2的中点，求直线l的方程.（提示：用设而不求的策略，参考答案：4x-y-7=0）

4. 若曲线C：y=1-■与直线l：x-y-m=0有两个不同的交点，求m的取值范围.（提示：采用数形结合策略，参考答案：-■

5. 过点P（1，2）作直线l交x，y轴的正半轴于A、B两点，当PA·PB最小时，求直线l的方程.（提示：采用参数引路策略，设∠PAO=？琢 ，则PA=■，PB=■，PA·PB=■=■，当 sin2？琢=1即？琢=■时， PA·PB最小，所以直线l的方程为x+y-3=0.）

6. 抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任一点，P在线段AB上，且■=■，当B在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程.（提示：采用向量搭桥策略，参考答案：点P的轨迹方程为x=■y2-y+■.）

7. 已知直线l与直线l1：x-3y+10=0和直线l2：2x+y-8=0分别交于点A、B，若线段AB被点P（0，1）平分，求直线l的方程.（提示：采用整体代换策略，参考答案：x+4y-4=0.）

九、总结心得 探幽索隐

古人云：“操千曲而晓声，观百剑而识器.”所以我们要在实践中多体会简化解析几何运算策略，要努力克服考生重思路方法、轻运算技巧技能的顽疾，不能只为了解题而解题.尽管以上只提供七种简化运算的策略，还不够全面，但只要我们在解决解析几何问题过程中若能探寻简化运算问题的本源，感悟简化运算的实质，在具体解题过程中，对以上的七种策略综合考虑，穿插运用，相互补充，就能达到化繁为简，左右逢源，相得益彰的效果，最终使简化解析几何运算策略达到“柳暗花明、茅塞顿开、融会贯通”的境界.

（作者单位：信宜市信宜中学）

责任编校 徐国坚