高深外表 基础内在

高考是一场选拔性的考试，这就决定了试题要有区分度.因此，高考数学卷在“全面考查考生对基础知识的掌握”的同时，还会出现一些“侧重考查考生智力水平和解题能力”的题目.

高考数学命题组的核心成员是高校教师，为了体现初等数学与高等数学的衔接，他们有时会以高等数学知识为背景命制高考题，使试题隐含或直接体现高等数学的一些知识、方法和思想.这类试题主要考查同学们在陌生情境中分析、解决新问题的能力，虽然背景新颖，但起点高、落点低，解题方法均来自初等数学知识.

命题者主要通过三种方式，将高等数学背景融入高考试题中.

命题方式一：以高等数学中的基本概念为背景

例1 [2011年高考数学广东卷（理科）第8题] 设S是整数集Z的非空子集，如果？坌a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的.若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且？坌a，b，c∈T，有abc∈T；？坌x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是

（A） T，V中至少有一个关于乘法是封闭的

（B） T，V中至多有一个关于乘法是封闭的

（C） T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的

（D） T，V中每一个关于乘法都是封闭的

解析： “集合运算的封闭性”是高等数学中抽象代数的基础知识，例1这道高考题就是一道以集合运算的封闭性为背景的概念题.

要解答例1，首先要理解“S关于数的乘法是封闭的”这个概念，我们可以通过实例来理解：设p为质数，令S={xx是p的倍数}，如果我们在S中任取两个不同的元素a，b，由于a，b都是p的倍数，因此它们的乘积也是p的倍数，即？坌a，b∈S，都有ab∈S，所以S关于数的乘法是封闭的.

再回到例1， 根据题意，我们可以设T，V为不同的集合，用排除法解决问题.因为T∪V=Z，所以整数1一定在T或V中. 设1∈T，则？坌a，b∈T，都有a·b·1∈T，即ab∈T，这意味着在T中任取两个数a，b，均有ab∈T，所以T关于乘法封闭.假设T为奇数集，V为偶数集，因为奇数乘以奇数还是奇数，偶数乘以偶数还是偶数，所以T，V关于乘法都是封闭的，排除B、C. 假设T为非负整数集，V为负整数集，则此时只有T关于乘法是封闭的，排除D.选A.

例2 [2010年高考数学福建卷（文科）第15题] 对于平面上的点集Ω，如果联结Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集.如图1所示，给出平面上4个点集的图形（阴影区域及其边界），其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.

解析： “凸集”是高等数学中点集拓扑学的一个基本概念，例2这道高考题考查了同学们对新概念的理解能力.理解凸集的关键是“对于平面上的点集Ω，联结Ω中任意两点的线段必定包含于Ω”，三角形、正方形、圆等几何图形都是凸集.

求解例2其实非常简单，在图形（1）和（4）中，我们可以轻易地找到两点，联结这两点得到的线段至少有一部分不包含于图形（1）和（4）.如图2所示，联结图形（1）中的两个顶点A，B，可知线段AB不包含于图形（1）；联结图形（4）中两个圆心J，K，可知线段JK中有一段不包含于图形（4），所以图形（1）和（4）代表的点集不是凸集. 而对于图形（2）和（3），分别联结其中任意两点如FG，HI，线段均包含于图形中，所以图形（2）和（3）代表的点集是凸集，答案为（2）（3）.

点评： 以高等数学中的基本概念为背景的高考试题常常会包含比较抽象的概念.我们不必从高等数学的角度去分析、理解，而是可以先借助实例理解概念，再选择适当的中学数学知识，采用排除法、特殊值法等方法解决问题.一旦“剥开”这些高考试题的“高等数学外套”，我们就会发现它们考查的知识点和解题方法非常基础.

命题方式二：以高等数学中的基本结论为背景

例3 [2009年高考数学辽宁卷（理科）第21题] 已知函数f（x）=x2-ax+（a-1）lnx，a>1. （1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a0，x1≠x2，有>-1.

解析： 例3的第（1）问比较简单，求导后进行分类讨论即可得出答案：当a=2时， f（x）在（0，+∞）上单调递增；当12时， f（x）在（1，a-1）上单调递减，在（0，1）和（a-1，+∞）上单调递增.

第（2）问其实是一道以“拉格朗日中值定理”为背景的高考试题.

很多同学压根没听说过这个定理，事实上也不需要知道它，第（2）问完全可以用中学数学知识构造函数来解决：由>-1可得+1>0，即>0.设g（x）= f（x）+x，则问题变为证明>0恒成立.由g（x）=f（x）+x=x2-（a-1）x+（a-1）lnx可得g′（x）=x-（a-1）+≥2·-（a-1）=1-（-1）2.因为10，g（x）在（0，+∞）上单调递增.所以当0

-1；当0

命题方式三：以高等数学中的著名问题为背景

例4 [2010年高考数学浙江卷（理科）第17题] 有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上午和下午各测试一个项目且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上午和下午都各测试一人，则不同的安排方式共有

种（用数字作答）.

解析： 例4这道高考题是以高等数学中的一个著名问题——“错位排列问题”为背景的.错位排列问题又称“信封问题”，是由瑞士数学家贝努利的儿子丹尼尔·贝努利提出的，其大意为：有n封不同的信及相应的n个不同的信封，如果这n封信都被装错了信封，问共有几种装法？这n个元素的错位排列数为： n！×1-+-+…+（-1）n.

例4要求“上午不测‘握力’项目，下午不测‘台阶’项目”，这其实是个有限制条件的错位排列问题.

上午测试“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“台阶”共四项.

下午测试“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”共四项.

上午测试的安排方式有种，下午测试的安排方式可分为两类：

第一类，若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余3位同学各有2种测试方法（相当于3个元素的错位排列）；

第二类，若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则这位同学有种选法；在其余3位同学中选1人测试“握力”，有种选法；剩余两位同学只有1种测试方法（相当于2个元素的错位排列），这时共有·=9种方法.

所以满足条件的测试方法共有·（2+9）=264种. 以“信封问题”为背景的高考试题其实并不少见，1993年高考数学全国卷（理科）第17题就是其中之一：

将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有

（A） 6种 （B） 9种

（C） 11种 （D） 23种

这是一道典型的错位排列问题，可以由错位排列数n！×1-+-+…+（-1）n求出答案为B.

若从中学数学知识出发，我们可以将它看成一个普通的分类计数问题：第一格填2，则第二格有种填法，至此，第三、四格对应的数字确定，不用排列.同理可得，当第一格填3或第一格填4时，各有种填法.所以共有3×=9种填法.