沪深300股指期权模拟定价研究

【摘 要】期权类产品已经成为国际金融市场常用的金融投资和避险工具。其中，股指期权在品种、交易量、交易金额等方面都高居期权类产品首位，它的产生极大地促进了全球金融衍生品市场的发展及规范。国外主流市场经验表明，推出股指期货后一年左右，相同标的物的股指期权就会相继推出。我国推出沪深300股指期货已两年有余，适时推出股指期权是我国金融衍生品市场发展的必然之举。本文选取沪深300指数为标的，对股指期权的价格进行了模拟定价研究。

【关键词】沪深300指数；模拟定价；GARCH模型

2010年4月，我国推出了首只金融衍生产品——沪深300股指期货，我国金融衍生品市场的正式起步。国外主流市场经验表明，推出股指期货后一年左右，相同标的物的股指期权就会相继推出。我国推出沪深300股指期货已三年有余，适时推出股指期权是我国金融衍生品市场发展的必然之举。

1.股指期权的定价公式

股票价格过程服从一维几何布朗运动已成为期权定价的基本假设。股票价格指数是由多种股票根据统计方法计算出来的。对股票价格指数的运动过程可以从以下两种思路考虑：（1）每只股票都服从几何布朗运动，其加权和可以近似认为服从多维几何布朗运动；（2）随着股票市场有效性的提高，股票价格指数与股票相同，本身就可以作为一种金融产品，服从一维几何布朗运动。本文从第二种思路入手，采用支付连续红利的B-S公式，即：

其中，

式中，S0为股票现价，k为期权敲定价格，δ为股息收益率，γ为无风险利率，T为到期时间。

2.沪深300股指期权的参数估计

2.1 沪深300指数波动率估计

波动率是B-S公式的参数中唯一无法直接获得的变量，期权定价的准确性依赖于对波动率估计的准确程度。

本文根据沪深300指数的历史数据对其波动率进行计算，运用GARCH模型估计预期波动率。

标准的GARCH（1，1）模型为：

（1）

（2）

式中：是解释变量向量，是系数向量。式（1）称为均值方程，它是一个带有扰动项的外生变量的函数。由于是以前面的信息为基础的向前预测一期方差，所以被称为条件方差，式（2）被称为条件方差方程。称为ARCH项，称为GARCH项。GARCH（1，1）模型的（1，1）是指阶数为1的自回归项（GARCH项）和阶数为1的扰动平均项（ARCH项）。GARCH（1，1）模型在实践中能模拟许多间序列数据，可充分捕获数据中的波动聚类性，因此很少考虑高阶的GARCH模型。

通过极大似然估计的方法可以估计出GARCH（1，1）模型的系数。GARCH（1，1）模型同样存在参数约束：。

本文中选取的数据为沪深300指数的当日收盘价，时间段为2005年4月8日至2012年9月28日，共1822个交易数据，记作序列{Pt}，数据来源为国泰安数据库。在金融研究中对收益的考虑通常为连续符合的对数收益率，而非价格变化本身，故对价格序列进行对数差分，差分后得到数据为1821个，并将收益率序列记作Rt = log（Pt）-log（Pt-1）。

由图1可知，收益率序列的峰度值为5.595519，显著大于正态分布的3，偏度值为-0.377684，JB统计量为554.4414，P值接近于0。可见，收益率序列不服从正态分布，且具有尖峰、厚尾及左偏的特征。

同时，通过收益率序列的统计描述，可以得出序列历史日波动率为0.019424。

对于股票市场，通常假设每年的交易日数为252天。根据公式年波动率=每交易日波动率，可以算出历史年波动率。

由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程——带漂移的随机游走模型描述，所以对沪深300指数对数收益率序列{Rt}进行估计的基本形式为：

利用最小二乘法对上式进行估计，结果如下：

总体上看，方程的拟合优度较好，但漂移项统计量的显著水平较低，对应p值为0.0668。从图1可知，沪深300指数日收益率的波动表现出“聚类性”和“持续性”的特征，因此可初步判断其波动具有ARCH效应，但这一判断需要进行检验（见图2）。

在此应用ARCH-LM 检验来检验它的ARCH效应。

ARCH-LM检验统计量通过一个辅助检验进行回归计算。为检验原假设：残差序列中直到p阶都不存在ARCH效应，进行如下回归：

，?t为残差。

这个回归有两个统计量：

（1）F统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所做的一个省略变量检验；

（2）统计量是Engle’s LM检验统计量，它是观测值个数乘以回归检验的R2 。

LM检验统计量渐进服从分布。

从滞后阶数p=1开始，对残差序列进行ARCH-LM检验，根据检验结果的统计显著性以及AIC和SC判断准则，可以认为在滞后阶数p=4时序列存在明显的ARCH效应，检验结果如下表所示。均值方程：

方差方程：

方差方程中ARCH项和GARCH项的系数都是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明GARCH（1，1）模型能够更好地拟合数据。再对这个方差进行条件异方差的ARCH-LM检验，得到残差序列在滞后阶数p=4时的检验结果：

此时的相伴概率为0.91，不拒绝原假设，可以认为该残差序列不存在ARCH效应，说明建立的GARCH（1，1）模型消除了残差序列的条件异方差性。同时，方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数之和小于1，满足参数约束条件。

由GARCH（1，1）模型可以得到收益率序列的长期方差VL。

对应的长期波动率=

由于模型使用的数据为日收益率数据，此时得出的长期波动率为长期日波动率，将其化为年波动率，可得：

2.2 股息收益率的确定

股息收益率即红利支付率，是股息与股票价格之间的比率。沪深300指数的股息率是根据其成分股各自的股息率及其权重计算得出，计算过程比较复杂。根据中国证券业监督管理委员会的数据披露，2009年至2011年，我国A股股息率逐年提高，分别为1.04%、1.14%和1.82%。同期沪深300指数的股息率为1.29%、1.59%和2.34%。沪深300指数的股息率2011年更是超过了S&P 500指数（2.12%）。由此可见，沪深300指数选取的样本股中权重股收益率较高，而且有着递增的趋势。

本文选取证监会公布的2011年沪深300指数的股息率作为沪深300股指期权定价的股息收益率，即2.34%。

2.3 无风险收益率的确定

无风险收益率是指把资金投资于一个没有任何风险的投资对象所能得到的收益率。在欧美等国，由于其具有高度发达的资本市场，往往以一年期国债（国库券）无风险收益率作为投资的无风险收益率。根据《金融业发展和改革“十二五”规划》显示，2010年债券发行量（含中央银行票据）达9.7 万亿元，而同年末沪深两市上市公司达2063 家，总市值26.54 万亿元。可见尽管我国也同样存在国债市场，但是目前国债市场的规模还远小于股票市场的规模。同时，我国利率市场化改革尚处于起步阶段，市场利率的变动不能及时体现。我国资本市场的结构还是以间接融资为主，直接融资规模小。因此，本文拟采用人民币一年期定期存款利率（基准利率）作为无风险收益率。由表3，本文以其平均值为3.04%作为沪深300股指期权定价的无风险收益率。

3.沪深300股指期权上市开盘参考价的模拟计算

根据现行沪深300股指期权合约仿真交易的设计，沪深300股指期权的合约乘数为序列为一个平值、两个实值和两个虚值，近月价格间距为50点，季月价格间距为100点。本文选取2012年9月29日作为合约挂盘时间，沪深300股指期权为4组20张，为方便举例，均设置为看涨期权。根据上文B-S对定价公式中各要素的确定，运用Deriva Gem软件，可以得出五种看涨期权的价格，结果见表4。通过上述对沪深300股指期权价格的计算可以看出，300元的合约乘数选择使得期权合约规模和现有的沪深300期货相同。同时，考虑沪深300股指期货的合约保证金为12%，以IF1210合约2012年9月28日的结算价2303.0点计算，合约保证金为82908元。对机构投资者而言，沪深300股指期权最高价格为91944元（IO031），与沪深300股指期货的保证金价格接近，利用股指期权进行套期保值成本较股指期货不会大幅度增加，使其有更多的风险管理工具的选择。

参考文献：

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作者简介：王倚天（1986-），河南开封人，新疆财经大学金融学院2010级研究生，研究方向：金融工程。