数列与解析几何

从近几年数列高考试题来看，命题形式呈现多样化，思维角度呈现复杂化，其中一种模式就是站在解析几何的基础上，考查数列建模能力和应用能力，问题解决甚至还需要借助函数知识，这就需要同学们其有较强的数学综合能力. 此部分内容在客观题或解答题中都有可能出现，但总体难度不大.

数列与解析几何的综合，往往从探究数列递推关系开始，其历程往往是“探寻递推公式演变成通项公式①数列前n项和的研究；②通项公式的延续拓展”，所以其突破口是要探究点与点的关系，挖掘数列的递推关系.

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■ 如图1所示，B1，B2，B3，…，Bn，…顺次为曲线y=■（x>0）上的点，A1，A2，A3，…，An，…顺次为x轴上的点，且OB1A1，A1B2A2，A2B3A3，…，An-1BnAn…均为等腰直角三角形（其中B1，B2，B3，…，Bn，…为直角顶点），设An的坐标为（xn，0）（n∈N？鄢）.

（1）求数列{xn}的通项公式；

（2）设Sn为数列■的前n项和，试证明：Sn>■-1.

破解思路 第（1）问的突破口是探寻数列{xn}的递推关系，即xn与xn+1的关系，探究过程是“xn与xn+1的关系”“An与An+1的联系”“借助Bn+1，An与An+1的关系，形成三角关系链”.

第（2）问的突破口是灵活运用拆分构造法或裂项求和法，牢牢地抓住数列通项进行放缩求解.

拆分构造法：因为■-1=（■-■）+（■-■）+…+ （■-1），所以要证Sn>■-1，即证■>■-■.

说明：常见的还有积的拆分，例如■=■・■・…・■×■等.

裂项求和法：■=■>■=■-■.

说明：常见的裂项技巧还有■=■-■，■=■■-■，■=■■-■，■=■-■，■>■=■-■，■

经典答案 （1）由y=■（x>0）且y=x得点B1的坐标是（1，1），所以x1=x■+y■=2.

因为直线AnBn+1的方程为y=x-xn，联立y=■（x>0），得点Bn+1的坐标■，■.

所以xn+1=x■+y■=■，即x■■-x■■=4，所以x■■=4+4（n-1）=4n，所以xn=2■或 -2■（舍去）.

（2）根据（1）可得■=■>■=■-■，所以Sn=■+■+…+■>（■-■）+（■-■）+…+（■-■）=■-1.

说明：探究问题的变式可以开阔眼界，拓展思维.此问可以变为“比较log■（Sn+1）与■log■（n+1）的大小（其中a>0且a≠1）”.

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如图2，OBC的三个顶点坐标分别为（0，0），（1，0），（0，2），设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn+3为线段PnPn+1的中点. 令Pn的坐标为（xn，yn），an=■yn+yn+1+yn+2.

（1）求a1，a2，a3及an；

（2）证明：y■=1-■，n∈N？鄢；

（3）若记b■=y■-y■，n∈N？鄢，证明：{bn}是等比数列.