圆曲线计算的一种新方法

摘 要：本文对具有缓和曲线的圆曲线的计算，推导了一种新的方法，对于理论计算及实际应用都有一定的帮助。

关键词：圆曲线；计算；方法

Abstract: In this paper the circular curve with transition curve calculation, to derive a new method for theoretical calculation and practical application, have some help.

Key words: circular curve; calculation; methods

中图分类号：TL329+.2文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2012）

一﹑前言

目前在道路中线坐标的计算方面涉及到很多圆曲线﹑缓和曲线的计算问题，有些计算过程很麻烦，尤其是带缓和曲线的圆曲线的计算，关于缓和曲线中的圆曲线段坐标计算的较普遍数学模型如下：

这一模型是目前计算具有缓和曲线的圆曲线的权威公式，在一般的道路桥梁测量中也被广泛应用，其缺点在于需用台劳级数展开，精度与取位有关，而且计算繁杂。

二﹑原理

1.无缓和曲线的圆曲线的计算

如图1所示，为一段无缓和曲线的圆曲线。在如图所建立的直角坐标系中，圆曲线右偏角为，根据圆的切线原理，圆曲线上弧ZY-YZ所对的圆心角也为，YZ点的坐标为：

（1）

同理，QZ点的坐标为

（2）

式中：——圆曲线半径；

——圆曲线偏向角。

图1

设点是圆曲线上的任意一点，为ZY点至该点的圆弧所对的圆心角，则该点的坐标为：

（3）

其中，

（4）

若以角度法表示，则

（5）

式中：——点到ZY点的距离，也即两点的里程差。

2.有缓和曲线的圆曲线的计算

图2

如图2所示为一段带缓和曲线的圆曲线，在如图建立的两个直角坐标系中，X-Y是以缓和曲线的ZH点为坐标原点，而X’-Y’是以HY点为坐标原点。点是圆曲线段上的任意一点，在以HY点为坐标原点的坐标系中，相当于不存在缓和曲线，故可以按上面的方法同理算出点的坐标为：

（6）

式中：——圆曲线半径

——HY点到点的圆弧所对的圆心角

同样，这里的，而为点到HY点的距离，也即两点的里程差。

如图2所示，缓和曲线的右偏角为（弧度），则

（7）

角为HY-QZ段圆弧所对应的圆心角，则

（8）

式中：——曲线长

——缓和曲线长

假设图2中两坐标系的夹角为，则

（9）

依据《现代路线工程测量》书中式（1-34），可知HY点的坐标为：

（10）

再由坐标转换公式（见书中式（3-36）），可得到的最终坐标为：

（11）

三﹑结论

利用上述推导的（11）式来对具有缓和曲线的圆曲线进行计算，可以避免台劳级数的展开，降低了计算的复杂程度，也不存在取位问题，可大大提高精度，在实践中也可以更好地满足高精度施工的要求。

参考文献

[1] 李青岳 陈永奇主编，《工程测量学》，测绘出版社，1995

[2] 李正中等编著，《现代路线工程测量》，教育科学出版社，2000