“等腰三角形判定的综合应用”课堂实录

(本课选自人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册§14.3“等腰三角形判定的综合应用”.)

一、教学目标

1.知识与技能：进一步熟悉等腰三角形的判定定理及应用.能综合应用等腰三角形的性质与判定定理解决问题.归纳出遇有角平分线和平行线这一类题的解题规律.培养学生多题归一，善于思考本质的能力.

2.过程与方法：通过学生的分析，引导学生归纳出遇有角平分线和平行线这一类题的思考方向，使学生在游泳中学会游泳，在解题中学会解题.

3.情感与态度：学生通过积极参与分析，使学生体验到学习知识的乐趣，思考的魅力.

二、教学重、难点

1.重点：对一类数学问题的解题方法归纳，等腰三角形的判定的应用.

2.难点：引导学生形成以后遇到这类问题善于归纳的意识.

三、教学过程

1.复习提问：

师：等腰三角形的判定定理有哪些？

①有两边相等的三角形叫做等腰三角形.（其定义是重要的判定.）

②有两个角相等的三角形是等腰三角形.

③一边上的中线、这边上的高线与这边所对的角的角平分线中任意两条线互相重合的三角形是等腰三角形.（三线合一的逆定理，当中包含3个定理.）

④三个角相等的三角形是等边三角形.

2.新课过程：

引例1：

已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.

求证：AB＝AD.

分析：请大家思考.

（大部分学生能做出来.等大部分学生思考出来时，抽成绩差的学生说出解题过程，面向全体学生.）

生：要证明AB＝AD，转化先证明∠ABD＝∠ADB即可.我们要证明的两条线段若在两个三角形中，则思考的一个方向是去证明三角形全等.若这两条线段是在同一个三角形中，则一个思考方向是证明它是等腰三角形.

生：证明：BD平分∠ABC，

∠ABD＝∠DBC.

又AD∥BC，

∠ADB＝∠DBC，

∠ABD＝∠ADB，

AB＝AD.（等角对等边.）

引例2：

已知：如图，∠CAE是ABC的外角，∠EAD＝

∠DAC，AD∥BC.求证：AB＝AC.（留时间给学生观察、思考.班上大部分学生能做出来，处理如上题.）

生：AD平分∠EAC，

∠EAD＝∠DAC.

又AD∥BC，

∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，

∠B＝∠C.（等角对等边.）

师：这两个题有什么共同之处？

生：都出现了平行线，都出现了角平分线.

生：都得到了一个等腰三角形.

生：都利用了“等边对等角”.

生：其证明的方法一样.

师：刚才大家七嘴八舌说了很多，说得很好.（至此课堂很活跃.）刚才我听到有的同学说很简单，我也这样认为这两个引例并不难，但难题来自于简单的组合，奥秘隐藏于简单之中，还要仔细分析，这两题能够给我们带来怎样的收获.

①小题：出现：a：角平分线

b：平行线

②小题：出现：

师：这两个题有什么不同之处？

生：前者的平行线是平行于这个角的一边，后者的平行线是平行于这个角的角平分线本身.

师：这两个题的结论有什么相同之处？

生：在这两种情况下，都能得到一个必然的等腰三角形.

师：谁来总结一下这个规律？

生：当题目中出现有角平分线和平行线时，题目中要出现一个等腰三角形.以利于做题的推进.（教师插话：注意了，平行线是平行于这个角的角平分线本身，或者平行于这个角的一边.学生记住一些小结论，做题时有利于迅速找到做题的方向，提高学生的数学素养.）

生：这是个双胞胎图形.

师：说得很好.在这里，第一个图形，其背上是一个等腰三角形，第二个图形，翻个个儿，其背上也是一个等腰三角形，因此我戏称为“背孩子的图形”.随便怎么记都行.（学生大笑，笑声中学生记住了这个图形、这个结论，课堂气氛也比较轻松、活跃.）

师：今后我们在解题时，就要有意识地向这个方向去想，要充分利用好我们总结的规律，在解题中学会解题，我们的思考能力才能越来越强大.能运用规律来解题，某种情况上说我们已经掌握了这个规律.

例1：

已知：如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，①过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD＋EC＝DE；②过F作FM∥AB交BC于点M，过F作FN∥AC交BC于点N.求证：FMN的周长＝BC.

（学生读题，思考如何去做.两、三分钟后，大部分学生已经能做出.）

师：谁来给大家分析一下？

生：由“背孩子图形”立即可得BDF和FEC是等腰三角形，由BD＝DF，EC＝EF.问题得证.

证明：BF平分∠DBC，

∠DBF＝∠FBC.

DE∥BC，

∠DFB＝∠FBC，

∠DBF＝∠DFB，

DB＝DF.

同理：EF＝EC，

DB＋EC＝DF＋FE，

即：DB＋EC＝DE.

师：从刚才同学们完成①问，能够感受到规律的威力，第二问如何做？

生：这个图形中，也有两个“背孩子图形”，可得FM＝BM，FN＝NC，问题得到解决.

师：今后，我们在思考问题时，按我们的规律进行思考，将大大推进我们对问题的思考.

例2：

已知：CE、CF分别平分∠ACB和它的外角，EF∥BC，EF交AC于点D，E是CE与AB的交点.

求证：DE＝DF.

师：给大家5分钟的时间，认真思考.5分钟后请同学回答.（5分钟，全班已有超过一半的学生能做.）

生：这里面仍然包含有两个“背孩子图形”.由角平分线和平行线，我们很容易得到DEC和DFC是等腰三角形，可得：ED＝DC，DF＝DC.

师：很好，请按规律思考.（至此班上大部分学生已经掌握这道题的思考规律，同时，理解了如何运用规律的.这些规律不需要去背，学生已经留在了脑海中.）

证明：FE∥BC，

∠DEC＝∠ECB.

又CE平分∠ACB，

∠ECB＝∠ECD，

∠DEC＝∠DCE，

DC＝DE.

同理：DC＝DF，

DE＝DF.

例 3：

已知：如图，点D是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线的交点，DE∥BC，DE交AB于点E，交AC于点F.

求证：EF＝BE－CF.

师：这道题留给大家5分钟的时间思考.

生：题目中出现有角平分线和平行线，思考找出题中的两个等腰三角形，能得到EDB和DFC是等腰三角形，有BE＝ED，DF＝CF，问题得到证明.

师：请大家写出证明过程.

证明：BD平分∠EBC，

∠DBE＝∠DBC.

DE∥BC，

∠EDB＝∠DBC，

∠DBE＝∠EDB，

DE＝BE.

同理：CF＝DF，

EF＝DE－DF＝BE－CF.

例4：

已知：如图，B、D分别在AC、CE上，AD是∠CAE的平分线，BD∥AE，AB＝BC.求证：AC＝AE.

师：同学们能自行解决吗？

生：题中出现有角平分线和平行线，先找出等腰三角形ABD，

有AB＝BD，又AB＝BC，

有BC＝BD，

∠C＝∠CDB.

又BD∥AE，

∠CDB＝∠E，

∠C＝∠E，

AC＝AE.

师：今后我们做题时，要善于多题归一.我们今天发现了不同题目中的规律，这些规律会给我们带来极大的帮助，也会增长我们的才能.

（作者单位：哈尔滨市第69中学）

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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