时间：2022-04-17 04:01:09
摘 要：数形结合的思想在高中数学中占有极其重要的地位。用例题来分析数形结合在解题中的巧妙运用，让学生自主地发现数形结合的存在，并自然地使用数形结合的方法解题。
关键词： 数形结合；解题；方法
数与形是数学中两个最古老、最基本的问题，是数学这栋大厦的两个基石，二者是一对密不可分的矛盾体。每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。正如美国数学家斯蒂恩也曾说过：“如果一个特定的数学问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”数形结合的实现，常与以下方面有关：数与坐标轴上的点的对应关系；函数和图像的相关联系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的如圆、不等式等概念；含有明显的几何意义的等式或代数式；方程与曲线的相关联系。
在解题时，把抽象的数学语言与直观的图形有意识地结合起来，根据问题的特征、特点, 或借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，巧妙利用两者的“结合”，找到解题思路，使问题得以解决。
“数形结合”思想是数学教学内容的主线之一，在高中数学中占有极其重要的地位。它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面。本文试从“以形助数” 方面，举例说明其在解决问题中的一些妙用。
一、利用直线斜率的几何意义巧妙解题
例1：已知方程x2+y2+4x-6y+12=0，求的值域。
解析：方程x2+y2+4x-6y+12=0表示以(-2,3)为圆心,以1为半径的圆。的几何意义是求已知圆上的点与点M(1,-1)连线所在直线的斜率的大小,而最值就是两条切线所在直线的斜率值。那么，利用数形结合就很快求出答案来。
解：如图1，设过点M(1，-1)的直线方程L为y+1=k(x-1)，即kx-y-k-1=0。圆心（-2，3）到直线L的距离等于1，可得d==1，k1=，k2=。即的值域是[，]。
二、利用两点间距离公式巧妙解题
例2：已知方程x2+y2+4x-6y+12=0。求：（1）x2+y2的值域，（2）（x-2）2+（y-1)2的值域。
解析：x2+y2的几何意义是求已知圆上的点与圆点的距离的平方。（x-2）2+（y-1)2的几何意义，是求已知圆上的点与点M(2,1)的距离的平方。
解：如图2, x2+y2的最大值是|OB|2=（-2）2+32+1=14，x2+y2的最小值是|OA|2=（-2）2+32-1=12，（x-2）2+（y-1)2的最大值是|OD|2=（-2-2）2+（3-1）2+1=21，（x-2）2+（y-1)2的最大值是|OC|2=（-2-2）2+（3-1）2-1=19，所以x2+y2的值域是[12，14]， （x-2）2+（y-1)2的值域是[19，21]。
例3：求函数y=+的值域。
分析：考察函数式的特点，学生从代数的角度去求解，发现此路非常烦琐。这时，引导学生思考函数式背后的几何背景，利用数形结合思想，巧用两点间距离公式来入手求解。
解：函数式可化为+＝+。
如图3,令A（-1，1），B（2，3），M（x，0），把问题转化为在X轴上一点M，求｜MA｜+｜MB｜的值域。如图3，AB两点在X轴同一侧，故取A关于X轴的对称点C(-1,-1)，故（｜MA｜+｜MB｜）最小值=|CB|==5,函数y=+的值域是[5，+∞]。
三、利用直线截距的几何意义巧妙解题
例4： 已知方程x2+y2+4x-6y+12=0，求Z=2x+y的值域。
分析：把Z=2x+y看成y=-2x+Z，Z是直线y=-2x+Z在y轴上的截距。
解：如图4利用数形结合可知，圆心(-2，3)到切线y=-2x+Z的距离为半径1,即=1,得Z的最大值为-1，Z的最小值为--1，所以Z的值域是[--1，-1]。
例5：求函数m=+的值域
分析：由于根号内同为n的一次式，若只做简单换元，也无法转化出一元二次函数求值域；倘若对式子进行平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得非常困难。考虑采用两步换元，利用数形结合的思想把代数问题转化为几何问题来求解。
解：如图5，设x=≥0，y=≥0，则m=x+y,由于x2+3y2=9，因此m是直线y=-x+m与椭圆x2+3y2=9在第一象限的部分（包括端点）有交点时在y轴上的截距，可得M的最小值为，直线与椭圆相切于第一象限时，m取最大值y=-x+mx2+3y2=9，消元得4x2-6mx+3m2-9=0，令=0得m的最大值为2。所以m的值域是[，2]。
从以上几题可以发现 ，数形之间的巧妙转换是利用数形结合思想解题的关键之一。利用“数”与“形”的巧妙转换，把代数式的精准刻画与几何图形的直观描述相结合，体现抽象思维和形象思维的有机统一。只有做到胸中有数，脑内有形，才能做到以数促形，以形助数，充分发挥图形在解题中的作用，一定能找到别样的精彩。
（韶关市中等职业技术学校）