发挥图形语言在数学教学中的作用

在数学中，图形语言也像文字语言那样具有记录作用，而且比文字语言更形象，有利于形象记忆，更有利于探索解题途径，还可以交流思想。正如笛卡尔曾说过的：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”所以，在数学课堂教学中，可以充分发挥图形语言的作用，让学生在抽象的数学学习过程中获得美的享受，从而提高学生数学学习的兴趣，激发学生探索数学的积极性；通过对图形多角度、全方位的观察与思考，以培养学生的观察、分析和认知能力，提高数学教学的有效性。

一、图形语言的教学价值

1.激发学习兴趣

教学实践表明，不少学生之所以视数学学习为苦役，为畏途，主要原因在于缺乏对数学的兴趣。事实上，在数学课堂教学中，一种巧妙解题方法、一个奇巧的构图往往可以激发学生的学习热情，培养学生的数学兴趣。

例1．求方程x+y+z+w=7有多少个正整数解。

分析与解：这个不定方程若用纯代数方法进行讨论，则不胜其烦。现构想7个相同的球，放在4只盒子中，显然每只盒子不空的一种放法对应着方程的一个解，因此方程解的个数即为球放法的总数，而其放法又等价于在7个并排横放的小球之间插入3条竖线，第一条左侧的小球装入第一只盒子，第一、第二条之间的小球装入第二只盒子，余类推。因为7个球之间有6个区间，所以共有C63种装法，故原方程共有20个正整数解。

通过例题的讲解与评析，不仅让学生掌握了这类问题的解法，而且让学生体会了数学思维的精巧，探索数学奥秘的激情也油然而生。

2.理解数学概念

中学生思维正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，对于某些较抽象的概念，还离不开具体事物的支撑。因此，在数学课堂教学中，借助于图形语言可以使抽象的概念直观地展示在学生面前，帮助学生从本质上真正理解掌握数学概念、定义等。例如，“集合”这一小节基本概念多，容易引起混淆。教学时可以借助于韦恩图，充分利用韦恩图具有的语言转换、逻辑分析和推理功能，帮助学生加深概念和性质的理解。

3.促进形象记忆

图形语言是一种视觉语言，与符号语言一样都是数学语言。它不仅具有符号语言准确、严密、简明的特点，还具有直观、形象、容量大，便于观察、记忆和联想等优点。因此利用图形语言进行记忆具有符号语言所不能及的优越性。例如，在对数函数的教学过程中，借助于多媒体从具体的几个图像中让学生观察、探索共性，自主归纳出其函数性质。由此学生只要记住了对数函数y=logax（a>0，a≠1）图像，同时也就记住了对数函数的所有性质。这样学生学起来就会感到很轻松而且记忆也很深刻。

4.建立数学模型

数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型。顾泠沅先生提出了实现数学化的三个阶段，即实物操作、表象操作和符号操作。借助表象操作这个中介实现了从动手操作到算式表示的过渡，越过了形式化的难关。因此用图形语言来描述数学事实或现实情境的数量关系，有利于学生弄清数学问题的含义，便于学生找到解决数学问题的策略及数学模型。例如，著名的哥尼斯堡七桥问题，欧拉将它抽象为如图1所示的图形模型，将问题转化为一笔划问题。又如在探求二次函数在不同区间上的最值时，可以借助二次函数的图像，归纳一般规律，形成解题经验，建立数学模型。

5.培养思维能力

几何图形是数学思维活动的基础，可以使抽象思维具体化，把思维活动变成可操作的数学演算；使复杂思路简洁化，让思维活动快捷可行；使静态思维动态化，让思维活动清晰明了。因此在教学中要着重培养学生从几何直观上分析问题的意识，指导学生掌握观察图形的思维方式，从而发展学生的思维。

分析与解：此例题若用纯代数的方法解则显得难以下手，如果能注意到M的表达式的几何特征，即两点间距离的平

6.提高解题能力

美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”这就表明，解题时若能挖掘问题的几何意义，配以图形，就能取得以简驭繁的效果。

二、加强图形语言教学的途径

1.重视教师的示范作用

俗话说言传不如身教，在数学课堂教学中，作为起主导作用的数学老师，首先要有意识地渗透用图形语言解题的理念，及时地展示图形语言的优越性，体现图形语言的价值所在，长此以往，就会给学生以潜移默化的影响，让学生尝试图形语言解题的方法，体验图形语言解题的成功感，形成用图形语言求解的意识。因此重视教师的示范作用是培养学生用图形语言学习数学知识、理解数学概念、提高解题能力的重要前提。

2.挖掘数式的几何意义

在数学课堂教学中，教师及时挖掘数学表达式的几何意义，帮助学生形成空间概念，有助于学生联想到图形语（x，y）到定点（3，-4）的距离，也可以看作是直角边分别为（x-3），（y+4）的直角三角形的斜边的长。因此充分挖掘数式的几何意义是培养学生用图形语言学习数学知识、理解数学概念、提高解题能力的知识基础。

3.培养学生的画图意识

教学实践表明，大部分学生在解题过程中，缺少画图的意识，例如，在集合教学中，求两个数集的交集时，尽管教师在例题中已经示范了用韦恩图和数轴求交集，课后作业时学生还是没有画图解题的意识。因此，培养学生画图的意识，指导学生学会画图是培养学生用图形语言学习数学知识、理解数学概念、提高解题能力的根本保证。

4.加强语言的相互转换

数学语言包括符号语言、图形语言和文字语言。进行数学语言的互译训练，不仅有利于学生掌握数学知识，理解数学本质；而且有利于学生产生好的念头，培养分析问题的能力，提高解决问题的能力；更有利于学生数学知识的融会贯通，激发学生的创新能力。因此，加强数学语言的互译是培养学生用图形语言学习数学知识、理解数学概念、提高解题能力的有效途经。

5.提高学生的构图能力

对于一个数学问题，如果“题设”和“结论”中的数量关系有特定的几何意义或以某种方式能与几何图形建立联系，则可构造有关图形，把数量关系的问题转化为图形性质的问题，充分运用几何图形形象直观、简单明了的优点，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，从而获得简便易行的解题思路。

例4．计算19961997×19971996-19961996×19971997．

分析与解：这是一道纯数字计算题，如果注意到其几何意义，则有意外收获。如图4所示，构造长方形ABCD和ECHF，则算式即为两个小长方形ABHG和EDGF面积之差，

原式=S长方形ABHG-S长方形EDGF=19971996×1-19961996×1=10000

通常情况下，可以从概念内涵、公式定理、数式结构等方面多角度类比联想，挖掘其几何意义，构建几何图形或函数图像，实现问题的等价转化。因此，提高学生构图的能力是培养学生用图形语言学习数学知识、理解数学概念、提高解题能力的关键环节。

三、运用图形语言应注意的几个问题

1.注意图形的准确性

我们知道，确当、合理的图形不仅是正确解题的基础，而且往往也是产生数学直觉的前提。因此构造的图形必须准确地反映题目条件中包含的位置关系与数量关系，否则，不准确的图形构造可能导致解题失误。

例5．一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形吗？为什么？

错解：满足上述条件的是平行四边形。如图5所示，已知：AD=CB， ∠A=∠C。求证：四边形ABCD是平行四边形。（证明略）

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解析：满足上述条件的四边形不是平行四边形。如图6所示，作等腰三角形ABC，AB=AC，在BC上取一点E，使BE>EC，且作ED=AC。连结AD，可得AEC≌EAD。所以∠D=∠C=∠B。在四边形ABED中，有AB=ED，∠B=∠D，但四边形ABCD不是平行四边形。

2.注意图形的完整性

由数学问题构造的图形还应具有完整性和普遍性，例如某函数的图像一般只能作出其一部分，不能也没有必要全部作出，但与问题有关的部分必须完整作出。又如一种问题有多种图形，则符合要求的各种图形必须完整画出，然后逐一讨论，更不能以特殊图形代替一般图形，必须防止犯以偏概全、以特殊代替一般的逻辑错误。

例6．方程x2=2x的解的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

错解：在同一坐标系内做出函数y=x2和y=2x图像，如图7所示，有两个交点，选C。

解析：实际上由于函数y=x2及y=2x（x>0）及两曲线的曲率不同，整体考虑y轴右侧的图像应有两个交点（2，4）和（4，16），再加上x

3.注意图形的简洁性

一个问题可用多种方法构造不同图形时，则应选择最简单的图形。例如在求解三角不等式或不等式组时，可构造数轴、三角函数图像、单位圆等多种形式，应根据问题特点，选择最简图形。又如在立体图形中，为分析图形方便，可将图形适当剖拆，分解，便于问题解决。

以上两种方法，虽同为图形语言解题，但比较发现，第二种方法的图像更简洁，更便于学生操作，因此，有时，我们可以对表达式作同解变形，选择比较容易画出的、自己熟悉的、更简洁的图形来解题。

总之，图形语言是现实世界与数学的最佳结合点。“一幅图胜过千言万语”，它能够使学生理解和掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，有助于学生清晰地表达、有条理地思考，会用数学的思考方式解决问题、认识世界。正如波利亚在《怎样解题》中提及的“画张图，引入适当的符号”。在解决问题时，可以从已知条件中的数字特征、代数式的特点、特定的数量关系等方面充分挖掘几何意义，引导学生借助于图形语言直观解答，从而激发学生的学习兴趣，发展学生的思维能力，培养学生的创新意识。

参考文献

[1] 张广祥．图形在数学思维中的作用．数学教学通讯，2002（8）．

[2] 何军．浅谈图形语言在解题中的巧用．数学通报，2008（7）．

[3] 蔡惠萍．几何图形在代数解题中的应用．数学通报，2004（3）．

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

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