令人着迷的梅森素数

2016年1月7日，美国数学家库珀发现第49个梅森素数274207281-1，即2的74207281次方减1。这个超大素数有22338618位，是目前已知的最大素数。如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65千米！

梅森素数是一种特殊的素数，它是数论研究的一项重要内容，也是当今科学研究的热点与难点之一。所谓梅森数，是指形如2p-1的一类数，其中指数p是素数，常记为Mp 。如果梅森数是素数，就称为梅森素数。用因式分解法可以证明，若2n-1是素数，则指数n也是素数;反之，当n是素数时，2n-1却未必是素数。前几个较小的梅森数大都是素数，然而梅森数越大，梅森素数也就越难出现。

是否存在无穷多个梅森素数是数论中未解决的著名难题之一，300多年来，人类仅发现49个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为 “数海明珠”。

梅森素数的神秘诞生

1588年9月8日，数学家梅森出生在法国奥泽的一个工人家庭，16岁时进入耶稣会办的学校学习，1609年从巴黎的索邦神学院毕业后任神职人员，1619年到拉农西亚德女修道院教授神学和哲学。

梅森有很高的科学素养，其研究涉及声学、光学、力学、航海学和数学等多个学科，并有“声学之父”的美誉。他是17世纪欧洲科学界一位独特的、极具魅力的人物，他学识广博、才华横溢，是当时法国许多科学家的密友。当时，大多数科学家喜欢以相互通信的方式交流科学思想，许多数学家都乐于将研究成果寄给梅森，然后凭借他热情诚挚的性格和丰富的社交圈，研究成果会在科学界广泛传播开来。梅森起到了科学交流的桥梁作用，被誉为“有定期数学杂志之前的数学的交换站”。由于梅森学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究2p-1型的数，为了纪念他，1897年在瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会（ICM）就将2p-1型的数称为梅森数，并以Mp记之（其中M为梅森姓氏的首字母）;如果Mp为素数，则称之为梅森素数。

在梅森研究2p-1型的素数之前，法国数学家费马曾与他进行过相关交流。1640年6月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我自信它们将成为今后解决素数问题的基础。”这封信讨论了形式为2n-1的素数。2n-1最早出现在欧几里得《几何原本》（公元前300年左右）第九章命题6中。梅森以此作为基础，花4年时间研究、检验了直至2257-1的全部数，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中写道：“总结前人的工作和我个人的研究，可以得到结论：在n小于或等于257的数中，仅当n=2、3、5、7、13、17、19时，2n-1是素数，并猜想n=31、67、127和257时，2n-1是素数;对于n<257的其他数值，2n-1都是合数。”

梅森提出的大胆猜想，可以大大缩短寻觅最大素数的验证范围。梅森素数的验证工作是十分艰辛与繁重的，n=31、67、127和257时的几个数比较庞大，其中最小的 231-1=2147483647也具有10位数字，是近20多亿的大数，正如梅森推测：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的！”是啊，枯燥、冗长、单调、刻板的运算会耗尽一个人的毕生精力，谁愿让生命的风帆永远在黑暗中颠簸？

虽然人们非常想知道梅森猜想的根据和方法，然而年迈力衰的梅森来不及留下猜想过程，便在1648年去世了。人们的希望与梅森的生命一起泯灭在流逝的时光之中。梅森曾于1644年猜想：“267-1是个素数。”当时，人们对其猜想深信不疑，连德国大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为他是对的。也许是因为梅森的名气太大了，因此，没有人敢对其断言表示怀疑。

不过，1930年在美国数学协会的年会上，数学家科尔做了一次精彩的演讲，他提交的论文题目是“关于大数的因子分解”。在“演讲”过程中，他始终一言不发，只是默默地在黑板上进行计算。他先算出267-1的结果，再算出193707721×761838257287的结果，两个结果完全一样。科尔第一个否定了“267-1是个素数”这一自梅森猜想以来一直被人们相信的结论，其“演讲”赢得了全场听众起立热烈鼓掌和齐声喝彩。这个“一言不发的演讲”成了科学史上的佳话。会后，人们问科尔：“你花费多少时间来研究这个问题？”他静静地说：“三年的全部星期天。”后来，这一传奇的“演讲”使他当选为美国数学协会的会长。他去世后，该协会专门设立了“科尔奖”，用于奖励做出杰出贡献的数学家。

同时，科尔的这场无言的演讲，为人们探索梅森素数提供了有力的精神支持，解放了数学家的思想，并掀起了研究梅森素数的热潮。

梅森素数的搜索历程

在“笔算纸录”的年代，人们历尽艰辛，才找到12个梅森素数，而计算机的诞生加速了梅森素数的探究进程。1946年第一台计算机诞生了，寻觅梅森素数即最大素数的工作从手工变为计算机。1952年，数学家鲁滨逊等人将鲁卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在几个月内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203、M2281。

探究梅森素挡唤黾富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。

1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数211213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，在第一时间了这一重要消息，《芝加哥论坛报》还把这一消息作为头版头条来报道。发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一重大成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“211213-1是个素数”的邮戳，这一做法一直延续到1976年该系数学家证明著名的“四色定理”为止。