遗传算法求解机会约束下半绝对离差投资组合模型

摘 要：建立了机会约束下的半绝对离差投资组合模型，求解机会约束时不将机会约束转化为确定的等价类型，而把机会约束用随机模拟技术来处理；应用遗传算法求解半绝对离差投资组合模型，并根据真实市场数据验证模型的有效性。结果表明：应用随机模拟技术和遗传算法求解机会约束下的半绝对离差投资组合模型是可行的，且方法简单、易于实现。进一步研究可以在工程优化和投资分析等许多领域找到新的应用。

关键词：遗传算法；机会约束；半绝对离差；投资组合模型；随机模拟

中图分类号:F830.59 文献标志码:A 文章编号:1673-291X（2008）15-0090-02

引言

证券投资组合[1]，是指为了避免或分散大的风险，投资者将资金分散投资到若干种证券中，以降低风险。一般来说，把全部资金投在一种或极少种证券上，则不论证券的质量多好，风险也是很大的，为了避免或分散较大风险，投资者可按不同的投资比例对多种证券进行有机组合，即所谓证券投资组合，以期取得最大的经济效益。

1991年KONO等[2～3]提出了绝对离差投资组合模型，用收益率的绝对离差表示风险，由于绝对离差不具备良好的解析性质，无法给出投资组合解的解析表达式。后来在绝对离差的基础上，该模型发展成了半绝对离差投资组合模型[4～5]。半绝对离差投资组合模型更符合投资者的心理，且能用非数值算法求解。在现实生活中，投资者选择证券投资组合，要求在实际收益率大于期望收益率的概率不小于某一置信水平的前提下，使风险达到最小，这就是机会约束下的投资组合模型[6～10]；一般来说，求解机会约束的方法通常是将机会约束转化为相应的确定性等价类型来对其求解，但是现实中，能转化为确定的等价类型的机会约束是很少的；随机模拟是一种实现随机系统抽样实验技术。虽然随机模拟是一种很不精确的技术，但对那些无法用解析方法处理模型却是一种十分有效的方法。

遗传算法[11～12]是建立在自然选择和群体遗传学基础上的一种非数值计算优化方法，随机产生若干个染色体构成的初始种群，通过对种群的选择、交叉、变异等遗传操作，从一初始解的种群开始迭代，逐步淘汰较差的解，产生最优解。

大量实证结果表明：风险资产收益的联合分布往往呈现厚尾特征且服从自由度较低的分布，同时基于正态分布的各种资产定价定价理论在分布下通常也是正确的[2，13]。

一、模型的建立

在现实生活中，由于风险资产收益率本身具有随机性，投资者选择证券投资组合时，要求在实际收益率大于期望收益率的概率不小于某一置信水平的前提下，使风险达到最小，这就是机会约束下的投资组合模型，其数学表述为：

二、随机样本模拟

在资产收益率不服从正态分布的情况下，模型（2）中的机会约束可能不一定有相应的解析表达式，很难计算出相应的确定等价类型，计算起来也很困难，故对这样的模型采用随机模拟技术来近似求解比较方便。模型（2）中的机会约束可采用随机模拟（Monte Carlo）方法[14～15]近似计算，具体实现方法如下：

步骤1：置N=0，固定机会约束中的x，用Metropolis 算法从t分布的概率密度函数中产生M个服从t分布的样本。

步骤2：判断M个样本的组合值是否大于R；如果大于R，则保留这M个样本；则N= N+1。

步骤3：重复以上步骤1和步骤2共N次( N

≥1-a。

步骤4：利用步骤1的方法随机产生大小为M的样本，重复步骤1共T―N次。

步骤5：从以上步骤1、2、3、4中得到M×T维样本矩阵。

三、遗传算法

用遗传算法求解模型（2）的基本思想是随机产生一个初始种群，然后反复进行选择、交叉、变异等遗传操作，并利用目标函数作为适应度函数对每一代的染色体进行评价，给定终止条件，从而得到最优解的最近解，具体算法过程如下：

步骤1：设置种群规模、最大遗传代数、交叉概率、变异概率。

步骤2：在可行域内，随机生成二进制编码的初始染色体种群，并对初始种群进行解码和归一化。

步骤3：计算适应度函数的值和每条染色体的选择概率。

步骤4：根据选择概率、交叉概率和变异概率对初始染色体种群进行选择、交叉、变异操作。

步骤5：重复以上步骤3和步骤4，直到满足迭代终止条作，得出最优染色体和目标值。

步骤6：画出迭代次数与目标函数的关系图。

四、模型求解与实例分析

对上述算法应用matlab软件进行编程求解。假设证券随机收益服从自由度为m=5的t分布时，选取深证A股15支股票，2003年1月至2008年1月，共60个月的月收益数据，应用matlab软件对模型（2）进行实证分析，具体数据见下表：

利用遗传算法求解时输入参数：交叉概率PC=0.86，变异概率Pm=0.058，迭代次数500，代沟为0.9，R=0.03，a=0.1.求得目标函数最优值等于0.0084，最优权重向量:

X=（0.0381，0.0874 ，0.2338，0.0985，0.0419，0.1982，0.0204，

0.0947，0.0678，0.0397，0.0095，0.0194，0.0028，0.0062，0.0417)

迭代次数与目标函数的关系

从迭代次数与目标函数值的关系（见左图）可以看出该算法经过280代后开始收敛，并且得到了该模型的近似最优解。

五、结束语

本文研究了机会约束下求解半绝对离差投资组合模型的一种方法，利用随机模拟技术在资产收益服从自由度为5的t 分布时，以机会约束作为样本产生的依据来随机产生风险资产的随机收益率；利用遗传算法来求解半绝对离差投资组合模型。实验结果表明：该方法用随机模拟技术和遗传算法在matlab软件中成功地实现了模型的求解，避免了将机会约束转化为确定的等价类型的求解的复杂计算过程，同时也易得到全局最优解，进一步研究可以广泛应用于金融和最优控制等许多领域。

参考文献：

[1] Markowitz H. Portfolio selection[J].Journal of Finance， 1952，7（1）:77-91.

[2] H. Konno， H. Yamazaki. Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its application to Tokyo stock market[J].

Management Science， 1991， 37（5）:519-531.

[3] Hiroshi Konno， Tomoyuki Koshizuka. Mean-absolute deviation model[J].IIE Transcations， 2005，（10）:893-900.

[4] 徐绪松，杨小青，陈颜斌.半绝对离差证券组合投资模型[J].武汉大学学报:理学版，2002，（3）:297-300.

[5] 温镇西，毕秋香.绝对离差风险测度模型与均值方差模型的比较研究[J].南方经济，2006，（11）:102-109.

[6] 韩其恒， 唐万生，李光泉.机会约束下的投资组合问题[J].系统工程学报，2002，（1）:87-92.

[7] Chandra A. Poojari，Boby Varghese.Genetic Algorithm based technique for solving Chance Constrained Problem[J].European Journal of

Operational Research， 2008，185:1128-1154.

[8] Pu Li，Harvey Arellano-Carcia， Gunter Wozny.Chance constrained programming approach to process optimization under uncertainty[J].

Computers and Chemical Engineering，2008，32:25-45.

[9] 张莉，唐万生，宋军.概率准则下组合投资的整数规划模型[J].天津大学学报:社会科学版，2003，（2）:126-128.

[10] 王良，杨乃定，姜继娇.机会约束下基于混合整数规划的均值――VaR证券投资基金投资组合选项择模型[J].系统工程，

2007，（1）:102-107。

[11] 刘晓峰.段雷.遗传算法矩阵编码的研究[J].太原科技大学学报，2006，（6）:441-444.

[12] 雷英杰，张善文，等.Matlab遗传算法工具箱及应用[M].西安:西安电子科技大学出版社，2005.

[13] 王懿，陈志平.基于下半概率风险度量并兼顾收益分布厚尾性的新型金融指数跟踪模型[J].运筹学学报，2007，（3）:75-85.

[14] 王燕青，唐万生，韩其恒.基于遗传算法的概率准则组合证券模拟求解[J].管理科学学报，2002，（6）:29-33.

[15] 何凤霞，张翠莲.蒙特卡罗方法的应用及算例[J].华北电力大学学报，2005，（3）:110-112.