利用插值法提高采样率的滤波器设计

摘 要：随着数字信号的迅速发展，在现代数字系统中对超过单一采样率的处理已经越来越普遍，这直接导致了多采样率处理作为数字信号处理(DSP)中一个新的分支领域的出现。其中在进行D/A(数字/模拟)转换的场合，往往需要提高数字信号采样率来降低对模拟滤波器的要求。论述利用插值的方法来提高采样速率，介绍了内插原理和给出了一种多相滤波器的设计方法，使性能和资源占有率得到较大的突破，最大限度地减少资源消耗。

关键词：内插；多速率采样；多相滤波器;数字信号处理

中图分类号：TN713.7文献标识码：B文章编号：1004373X(2008)1906903

Design of Heightening Sampling Rate for Filter by Interpolation

XU Yan,SUN Lihua

(School of Information & Engineering,Nanchang University,Nanchang,330031,China)

Abstract：With the rapid development of digital signal,multirate process has become more and more common in the modern digital system,which lead directly to the multi-sampling rate processing as a new branch of the emergence in the field of DigitalSignal Processing (DSP).When implementing D/A (digital/analog) conversion ,the sampling rate of digital signal is often needed to be increased to reducing the requirement of analog filter.In order to improve sampling rate by using interpolation,the theory of interpolation are introduced,the poly-phase filter design is given.This means may reduce consumed resourceto a bare minimum based on improving the performance of filter and the usage of resource remarkably.

Keywords：interpolation;multiple rate sampling;poly-phase filter;digital signal processing

1 引 言

数字信号由于其在传输、存储和计算上的便捷性，正在得到越来越广泛的应用。在一个数字信号处理系统中往往会存在多种采样速率，它能够方便信号处理，减少运算量，所以多采样数字信号处理在数字信号处理中占有重要地位，并广泛应用于通信、数字音响处理、天线及雷达、图像处理等领域。数字音频应用中，常见的格式有如下几种:CD制式，采样率为44.1 kHz，精度16 b;DVD制式，采样率可为48 kHz/96 kHz/192 kHz，精度为16 b/20 b/24 b;HDCD格式，最高可达到88.2 kHz采样速率和20 b精度［1］。不同制式采样率也有所不同。在要求数据率为48 kHz的系统中处理数据率44.1kHz的CD音频数据，首先就要将CD数据提升到48 kHz，这样就要用到多采样速率处理［2］。速率转换的目的主要是两个：其一就是为了简化数据处理；第二就是实现不同速率要求的系统兼容。采样速率转换通常采取最基本的两种操作就是降采样(decimation)和插值(interpolation)。前者是降低采样率以去掉多余数据的过程,而后者是提升采样率以增加数据的过程。

2 内插原理

插值运算［3］的作用是增加取样频率，在任何两个输入x(n)和x(n－1)之间插入L－1个抽样值。内插过程又分零插值和线性插值等几种。零插值运算的一般方法是先在输入信号采样数据每相邻两点之间插入L－1个零。线性插值运算的一般方法是在任何两个输入x(n)和x(n－1)之间插入L－1个值，这些值位于连接这两个数据值的直线上。零插值器不影响原来的频谱结构，但线性插值则不同，线性插值不能充分衰减信号频谱的镜像，因而有其应用的局限性。所以虽然在插值滤波中运用到很多算法，但对于数字音频来说，选择插零算法。

在信号理论中，对序列x(n)进行整数倍内插，相当于对原序列在时域进行扩展。因为序列在时域扩展由于信号采样率提高了L倍，则在频域产生的L－1个镜像频率由镜像低通滤波器去滤除。镜像滤波器一般都用FIR数字滤波器来实现，也称之为多采样滤波器(multirate filter),L为转换因子。此时多采样滤波器为插值滤波器，相应的L为插值因子。实现插值因子的一个最简单方法是在离散时间域进行插值，过程如图1所示。

图1 实现插值的方法

若设原始采样序列为x(n)，则经过内插后组成一个新的序列xρ(n)。

xρ(n)=x(n/L)n=0,±L,±2L,…

0n=其他

(1)

将xρ(n)通过一个截止频率为ω=π/L的低通滤波器，经滤波后这些的零值点将不再是零，从而得到插值后的输出信号xb(n)。将一次采样信号x(n)的采样率增加L倍意味着必须在x(n)的每两个数据之间插入L－1个新的采样值，采样率增加的过程在数学上就是插值的过程。如果将采样率增加L倍，那么新的采样率和采样周期分别为:fs1=Lfs，T1=1/fs1=T/L。由于采样率的增加，在新信号xb(n)的频谱中不仅包含x(n)的基带频谱，还包含这个频谱的周期重复，必须采用低通滤波器h(m)来滤除这些重复的镜像，保证输出信号xb(n)中仅包含原信号的基带频谱，同时还需要保证输出信号的幅度不发生变化。

图2 内插前后的两种不同采样序列

3 多相滤波器的设计

由于多相滤波器能在低的采样率下输出高采样率信号。利用该特点，下面采用多相滤波器的数字信号处理单元来提高采样率。

3.1 多相滤波器原理

设单元的输入采样速率为fs，而把输出的速率增大到Lfs，其中L为2的指数。设1/fs秒输人一个数据，L个滤波器分别在L个不同时隙输出数据。由于多相滤波器是一个周期为L的周期时变滤波器，L个时隙的总长度为1/fs，以完成L倍内插。一般情况下，L个滤波器都是相同阶数FIR滤波器。假设输入原采样序列为x(n),第m个FIR滤波器系数为hm－1(n)，假定滤波器阶数都是N阶，输出序列为y(n)。L个滤波器产生如下表达式：

y(nL)=∑N－1m=0x(n－m)h0(m)

y(nL+1)=∑N－1m=0x(n－m)h1(m)

……

y(nL+L－1)=∑N－1m=0x(n－m)hL－1(m)

(2)

即当在t时刻输入一个数据x(n)时，相应地在该时刻产生一个输出值y(nL)；同理在t+1Lfs时刻产生一个输出y(nL+1)，以此类推，在时刻t+L－1Lfs产生输出为y(nL+L－1)。多相滤波器第p个支路的输出产生Yp(n)，并有Y(nL+p)=Yp(n)(p=0,1,…,L－1)。因此对每个输入x(n)，多相网络L个分支的每一个分支提供一个非零输出，由此可推导出多相插值滤波器结构。该结构是将插值滤波器直接式结构对存储量的要求分配给所有的多相滤波器，多相插值滤波器可以将多相滤波器各自的抽头与其他多相滤波器对应的抽头的部分积，在存入移位寄存器之前求和，共享各个滤波器中的累加器和移位寄存器，从而可以使存储量的要求和总的运算量均减少L倍。

图3 FIR多相插值滤波器结构

3.2 设计思路

由上面原理可知，多相插值滤波器设计关键在于滤波器系数hi(n)(i=0,1,…,L－1)的选择，按照内插原理先对输入的序列进行插值，得到一个新的序列xρ(n)，经过这种内插后，问题转化为对xρ(n)用LN阶FIR滤波器h′(n)滤波。

h′(n)=h0nL

n=0,L,2L,…,(N－1)L

h1n－1L

n=1,L+1,2L+1,…,(N－1)L+1

…… …

hL－1n－L+1L

n=L－1,2L－1,…,NL－1

(3)

由式(3)可知，问题就转化为设计一个恒定的采样率的滤波器h′(n)。

现在就频域进行分析：

(1) x(n)的离散傅里叶变换为：

X(ejω)=∑∞－∞x(n)e－jωn

(4)

(2) 将式(1)代入式(4)，得xρ(n)的离散傅里叶变换为：

Xρ(ejω)=∑∞－∞xρ(n)e－jωn=∑∞－∞x(n/L)e－jωn

=∑∞－∞x(m)e－jωmL=X(ejLω)

(5)

Xρ(ejω)=X(ejLω)

(6)

因为X(ejω)的周期为2π，由式(6)得出Xρ(ejω)的周期为2π/L。这说明Xρ(ejω)在(－π/L~π/L)内等于X(ejω)。即经过内插后，xρ(n)的频谱不仅含有原来的基带成分，而且还有原来频谱的镜像成分。现假定(L=8)即将采样率提高8倍，当采样频率提高L倍后，频谱缩减L倍，因此，Xρ(ejω)在(－π/8~π/8)内等于X(ejω)，即原序列x(n)的频谱(－π≤ω≤π)被均匀地压缩到

xρ(n)频谱(－π/L≤w≤π/L)段，且毫无混叠出现；我们只要设计(－π/L~π/L)的频响来实现对x(n)的滤波，而大于π/L的部分都属于h′(n)阻带的部分。这样就完成了恒定采样速率的滤波器h′(n)的设计。

4 结 语

随着数字技术的迅速发展和成熟，尤其是微处理器及专用数字处理芯片的迅速发展和广泛应用，使得数字信号的大量存储、快速处理变得简便，因而用数字技术处理模拟信号己越来越受到重视，所以A/D变换和D/A变换就越来越普遍。在一些需要进行D/A变换的场合，进行内插，提高基带的采样率可以有效的降低对混频后的谐波抑制滤波器的要求，这也是内插处理经常运用在上变频器件中的原因。尽管通用的过采样法是提高分辨率和信噪比的十分有效的方法，但却是以有效的数据吞吐量减少，采样所占时间份额加大为代价。而本文介绍的多相滤波器能工作在低的采样率下，而产生高采样率的输出信号，且保证结果不发生频谱混叠。

参考文献

［1］洪亮.可重构24 b音频过采样DAC的FPGA实现研究［D］.上海:华东师范大学,2006.

［2］余心乐,杨占昕.插值滤波器的DSP实现及有限字长效应分析［J］.北京广播学院学报:自然科学版，2005,12(2):37-42.

［3］胡广书.现代信号处理教程［M］.北京：清华大学出版社，2004.

［4］丁玉美，高西全.数字信号处理［M］.西安：西安电子科技大学出版社，1994.

［5］舒中宾.一种提高ADC分辨率的插值滤波方法［J］.现代电子技术,2005，28(17):35-37.

［6］闫华,杨军.一种用于数字音频的插值滤波器设计［J］.现代电子技术,2007,30(6):1-3.

作者简介 徐 燕 女，1982年出生，浙江绍兴人，研究生。主要研究方向为通信与信息系统，

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