一道平凡而不平淡的高考题引发的思考

2012年6月7日晚上，老师们在办公室里讨论今年的高考数学卷，普遍认为浙江卷比较平常，直到一个老师提到他那参加高考的女儿说有几道题虽然看起来很平常，实际上却不好做，比如理科卷的17题.细细品味发现此题初看很平淡，实质却内蕴丰富：知识纵横交错，数学思想运用灵活，只有达到对数学的本质理解才能做好.

一、试题再现

（2012浙江数学理科卷第17题）设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，则a=？摇 ？摇.

二、试题解答

图一

思路一：令函数y=[（a-1）x-1]（x-ax-1）

①当a=1时，y=-（x-ax-1），显然不合题意；

②当a≠1时，易知a>1，

由于[（a-1）x-1]（x-ax-1）=0的根有一个必为（>0），

又x-ax-1=0的=a+4>0，

所以[（a-1）x-1]（x-ax-1）=0至少有两个根，

结合y=[（a-1）x-1]（x-ax-1）的图像（图一），

必为x-ax-1=0（=a+4>0）的根

a=.

思路二：原不等式等价于（a-1）x-1≤0x-ax-1≤0（A）或（a-1）x-1≥0x-ax-1≥0（B），

图二

令函数y=（a-1）x-1，y=x-ax-1都过定点P（0，-1）.

考查函数y=（a-1）x-1：令y=0，得M（，0），

x趋向无穷大时y2必为正，要使yy≥0，

则x趋向无穷大时y1也为正，

a>1，

由（图二）可得函数y=x-ax-1必过点M（，0），

代入得：（）--1=0，解得：a=，或a=0（舍去），

a=.

思路三：把a当做主元

[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，即为[xa-x-1]（xa-x+1）≤0，

又方程[xa-x-1]（xa-x+1）=0的两根为a=或a=，

[xa-x-1]（xa-x+1）≤0关于a的解必在、两根之间.

因为本题为填空题且是求a的值，

所以a===.

思路四：[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，即为[ax-x-1]（ax-x+1）≤0

图三

令y=ax，y=x+1，y=x-1

x>0时均有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，

x>0时y=ax的图像在y=x+1与y=x-1的图像之间.

由图三易知y=ax的图像过y=x+1与y=x-1的交点，

a=.

思路五：特值法：因为x>0恒有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，

那么对特定的x（x>0）的值上述不等式必成立，

取x=2，得（2a-3）≤0，

a=.

三、教学反思

高考结束后，笔者对该题的解法做了相关调查，发现60%的同学想到用第一种思路即结合三次函数的图像解题，但大部分同学只结合函数而没有考虑对应的方程，加上考试时的时间因素和心理因素（看其是最后一道填空题）放弃了解答.而接下来几种解法为什么没有那么多学生做呢？笔者对高三数学教学进行了反省，发现还有不少地方值得改进.

1.过分强调“模式识别”，制约了学生思维的拓展.

“模式识别”对基础题的作用是显而易见的，所以大多数老师在高三解题教学中，往往强调“模式识别”.此题学生受挫，绝大多数就是吃亏在“模式识别”：不等式的恒成立问题转化为最值问题求解，可此题的最值实在不好求，导致学生无法求解，又由于惯性思维而想不到其他解法.

2.忽视对知识发生发展过程的复习，制约了学生的数学理解.

思路一，学生知道应该利用函数和方程思想及数形结合思想，但为什么没有想到要考虑对应的方程呢？又为什么没有想到第二种解法呢？问题就在于高三数学教学实在太具有功利性了.回想高一教一元二次不等式的解法时，注重让学生体验结合一元二次函数和方程解一元二次不等式的过程，最后归纳解一元二次不等式的步骤.可高三时我们把不等式的解法放在一节课上，知识点的讲解着重放在让学生回顾各种不等式的解题步骤，比如一元二次不等式的解法：①二次项系数化为正；②能因式分解则因式分解，不能因式分解则计算；③结合图像写出解集.而此解题步骤没有让学生充分体会到方程对解不等式的重要性.由于高三复习的高度总结性让学生忽视了最原始的利用降维方法（蕴含化归与转化思想）把二次不等式化为两个一元一次不等式组的解题方法，导致该题的解答过程中许多同学想不到用思路二进行解答.

3.知识复习与数学思想复习的割裂，制约了学生对思想方法的灵活应用.

纵看高三数学复习的安排，绝大多数分成三阶段：一轮复习（知识为主），二轮复习（思想方法为主），三轮复习（解题与应试技巧为主）.而一轮复习往往要持续到当年高考3、4月份，思想方法和填空选择的解题技巧的复习往往只用了几节课，留给学生对思想方法与解题技巧的体会内化时间着实不多，况且由于教师的教学方式方法及学生对完备解答（许多学生在平时往往不喜欢用代入法、特值法等解题，觉得那不是真正会）的追求导致学生不善于从思想方法的高度寻找解题思路，就如同没有大局上的战略指导，把握不好某一场战役的战术选择，由此大多数学生想不到思路三、四、五.

四、教学启迪

这一道看似很平凡的题确实给一线教师指明了教学的方向：数学理解.

现代认知心理学研究表明，对于一些简单的技能，重复训练也许可以奏效，但对于较复杂的技能，特别是高级思维技能，则必须建立在理解的基础上.[1]高考中综合性问题、创新性问题或通俗说的“难题”实质上考的就是学生对数学本质的理解，这是无法通过重复训练、记忆“数学模式”所能达到的.数学思想是对数学事实与数学知识的一种本质认识，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果.因此，数学思想的理解在数学理解中处于主导地位，是数学学习的本质要求.在高三复习中，知识点的教学与数学思想方法的理解应双线同时进行，融会贯通，让学生从新课到高三复习经历一个对数学知识、思想理解的螺旋式上升的过程.根据“超回归”数学理解模型，数学理解的过程并非直线的，而要经历一个多次重新回到内侧水平的过程才能逐步达到高水平的理解[2].比如不等式解法中所蕴含的数学知识与思想，第一阶段，高一学习解一元二次不等式时，学生对解不等式中蕴含的函数与方程思想、数形结合思想还只是初步的认识，可能还有点懵懂；第二阶段，高二学习绝对值不等式的解法是再次认识；第三阶段，导数的应用中不等式的恒成立问题、方程解的个数问题等是进一步认识；第四阶段，高三对解不等式的总体复习再次让学生体验数学思想在解题思路挖掘过程的指导作用.总之，让数学理解成为课堂教学的主旋律，让学生有足够的机会、时间一步步循序渐进地理解数学.

参考文献：

[1]徐兆洋.数学理解型教学及其课例设计.数学通报，2012.1.

[2]李淑文，张同君.“超回归”数学理解模型及其启示.数学教育学报，2001.1.